Для нахождения интеграла ∫ (4 − 3x)e⁻²ˣ dx воспользуемся методом интегрирования по частям и заменой переменных. Начнем с определения необходимых частей.

Шаг 1: Определение частей для интегрирования по частям

• Пусть u = 4 - 3x, тогда du = -3 dx.
• Пусть dv = e^(-2x) dx, тогда v = ∫ e^(-2x) dx = -1/2 e^(-2x).

Шаг 2: Применение формулы интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям выглядит так: ∫ u dv = uv - ∫ v du.

Подставим наши u, du, v и dv:

• uv = (4 - 3x)(-1/2 e^(-2x)) = -(4 - 3x)/2 e^(-2x).
• du = -3 dx, v = -1/2 e^(-2x) ⇒ ∫ v du = -1/2 ∫ e^(-2x)(-3) dx = (3/2) ∫ e^(-2x) dx.

Шаг 3: Вычисление интеграла ∫ e^(-2x) dx

Мы уже знаем, что ∫ e^(-2x) dx = -1/2 e^(-2x). Подставим это в наш интеграл:

• ∫ (4 - 3x)e^(-2x) dx = -(4 - 3x)/2 e^(-2x) + (3/2)(-1/2 e^(-2x)) + C.

Шаг 4: Упрощение результата

Упрощаем полученный результат:

• ∫ (4 - 3x)e^(-2x) dx = -(4 - 3x)/2 e^(-2x) - (3/4)e^(-2x) + C.
• Объединяем дроби: = [-(4 - 3x) - (3/2)]/2 e^(-2x) + C.
• = [-(4 - 3x + 3)]/2 e^(-2x) + C.
• = [-(3 - 3x)]/2 e^(-2x) + C.
• = (3x - 3)/2 e^(-2x) + C.

Итак, окончательный ответ:

∫ (4 − 3x)e⁻²ˣ dx = (3x - 3)/2 e^(-2x) + C.