Похожие вопросы
2025-07-19 09:47:25
Найти интеграл ∫ x³dx / (x⁴ + 5)
- ln(x⁴ + 5) + c
- 4 ⋅ ln(x⁴ + 5) + c
- 1/4 ⋅ ln(x⁴ + 5) + c
- −ln(x⁴ + 5) + c
- −1/4 ⋅ ln(x⁴ + 5) + c
Другие предметы Университет Неопределённый интеграл интеграл высшая математика университет математический анализ интегрирование функции LN X3 x4 учебные материалы задачи по математике
2025-07-19 09:47:47
Для нахождения интеграла ∫ (x³ / (x⁴ + 5)) ln(x⁴ + 5) dx, давайте разберем его по шагам.
Шаг 1: Используем метод подстановки.
Рассмотрим подстановку:
- Пусть u = x⁴ + 5.
- Тогда, производная u по x будет: du/dx = 4x³.
- Отсюда, dx = du / (4x³).
Теперь мы можем выразить x³ через u:
- x³ = (u - 5)^(3/4).
Шаг 2: Подставляем в интеграл.
Теперь подставим u и dx в наш интеграл:
- ∫ (x³ / (x⁴ + 5)) ln(x⁴ + 5) dx = ∫ (x³ / u) ln(u) (du / (4x³)).
- Это упростится до: ∫ (1 / (4u)) ln(u) du.
Шаг 3: Интегрируем.
Теперь нам нужно найти интеграл ∫ (1 / (4u)) ln(u) du. Для этого используем интегрирование по частям:
- Пусть v = ln(u), dv = (1/u) du.
- Пусть w = 1/4, dw = 0.
По формуле интегрирования по частям:
∫ v dw = vw - ∫ w dv.
Таким образом:
- ∫ (1 / (4u)) ln(u) du = (1/4) ln(u) * u - ∫ (1/4) * (1/u) * u du.
- = (1/4) ln(u) * u - (1/4) ∫ du.
- = (1/4) ln(u) * u - (1/4) * u + C.
Шаг 4: Возвращаемся к переменной x.
Теперь подставим обратно u = x⁴ + 5:
- ∫ (x³ / (x⁴ + 5)) ln(x⁴ + 5) dx = (1/4) ln(x⁴ + 5) * (x⁴ + 5) - (1/4) * (x⁴ + 5) + C.
Шаг 5: Упрощаем результат.
Теперь мы можем упростить полученный результат:
- = (1/4) ln(x⁴ + 5) * (x⁴ + 5) - (1/4) * (x⁴ + 5) + C.
Итак, окончательный ответ:
∫ (x³ / (x⁴ + 5)) ln(x⁴ + 5) dx = (1/4) ln(x⁴ + 5) * (x⁴ + 5) - (1/4) * (x⁴ + 5) + C.