Чтобы найти интеграл ∫ xe^(-2x) dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Напомню, что метод интегрирования по частям основан на формуле:

∫ u dv = uv - ∫ v du

Где u и dv — это две части, которые мы выбираем из нашего интеграла. В нашем случае, давайте сделаем следующие выборы:

• u = x (тогда du = dx)
• dv = e^(-2x) dx (тогда v = ∫ e^(-2x) dx = -1/2 e^(-2x))

Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:

∫ xe^(-2x) dx = -1/2 * x * e^(-2x) - ∫ (-1/2 * e^(-2x)) dx

Теперь нам нужно решить второй интеграл:

∫ e^(-2x) dx = -1/2 e^(-2x)

Теперь подставим это значение обратно в выражение:

∫ xe^(-2x) dx = -1/2 * x * e^(-2x) + 1/4 e^(-2x) + C

Где C — это константа интегрирования.

Теперь, если мы объединим все части, получим:

∫ xe^(-2x) dx = (-1/2 * x + 1/4) e^(-2x) + C

Таким образом, итоговый ответ на интеграл ∫ xe^(-2x) dx:

(-1/2 * x + 1/4) e^(-2x) + C