Найти коэффициент при x³⁰ в разложении выражения (3-x²+x⁵)¹⁹ по полиномиальной формуле, полученный после раскрытия скобок и риведения подобных членов.

Другие предметы Университет Комбинаторика дискретная математика университет коэффициент разложение полиномиальная формула выражение раскрытие скобок подобные члены x30 Новый

Для нахождения коэффициента при x³⁰ в разложении выражения (3 - x² + x⁵)¹⁹ воспользуемся теоремой бинома. Сначала определим, как мы можем получить x³⁰ из данного выражения.

Обозначим:

• a = 3
• b = -x²
• c = x⁵

Теперь мы можем записать общее выражение для раскрытия скобок по формуле бинома:

(a + b + c)ⁿ = Σ (n! / (k1! * k2! * k3!)) * a^k1 * b^k2 * c^k3, где k1 + k2 + k3 = n.

В нашем случае n = 19. Нам нужно найти такие k1, k2 и k3, чтобы:

• k1 + k2 + k3 = 19
• 2k2 + 5k3 = 30

Теперь решим систему уравнений. Начнем с первого уравнения:

k1 = 19 - k2 - k3.

Подставим это значение во второе уравнение:

2k2 + 5k3 = 30.

Теперь мы можем выразить k1 через k2 и k3:

k1 = 19 - k2 - k3.

Теперь рассмотрим возможные значения k3, так как оно влияет на количество x⁵ в выражении.

Рассмотрим различные значения k3:

1. Если k3 = 0, тогда 2k2 = 30, что дает k2 = 15. В этом случае k1 = 19 - 15 - 0 = 4.
2. Если k3 = 1, тогда 2k2 + 5 = 30, что дает k2 = 12. В этом случае k1 = 19 - 12 - 1 = 6.
3. Если k3 = 2, тогда 2k2 + 10 = 30, что дает k2 = 10. В этом случае k1 = 19 - 10 - 2 = 7.
4. Если k3 = 3, тогда 2k2 + 15 = 30, что дает k2 = 7. В этом случае k1 = 19 - 7 - 3 = 9.
5. Если k3 = 4, тогда 2k2 + 20 = 30, что дает k2 = 5. В этом случае k1 = 19 - 5 - 4 = 10.
6. Если k3 = 5, тогда 2k2 + 25 = 30, что дает k2 = 2. В этом случае k1 = 19 - 2 - 5 = 12.

Для остальных значений k3 (больше 5) значение k2 будет отрицательным, что невозможно.

Теперь подставим найденные значения k1, k2 и k3 в формулу для коэффициента:

Коэффициент = (19! / (k1! * k2! * k3!)) * (3^k1) * (-1)^k2 * (1)^k3.

Теперь посчитаем коэффициенты для каждого из случаев:

1. k3 = 0: k1 = 4, k2 = 15
   • Коэффициент = (19! / (4! * 15! * 0!)) * (3⁴) * (-1)¹⁵ = 3876 * 81 * (-1) = -313236.
2. k3 = 1: k1 = 6, k2 = 12
   • Коэффициент = (19! / (6! * 12! * 1!)) * (3⁶) * (-1)¹² = 1716 * 729 * 1 = 1252992.
3. k3 = 2: k1 = 7, k2 = 10
   • Коэффициент = (19! / (7! * 10! * 2!)) * (3⁷) * (-1)¹⁰ = 43758 * 2187 * 1 = 95767746.
4. k3 = 3: k1 = 9, k2 = 7
   • Коэффициент = (19! / (9! * 7! * 3!)) * (3⁹) * (-1)⁷ = 50388 * 19683 * (-1) = -991636044.
5. k3 = 4: k1 = 10, k2 = 5
   • Коэффициент = (19! / (10! * 5! * 4!)) * (3¹⁰) * (-1)⁵ = 11628 * 59049 * (-1) = -685215372.
6. k3 = 5: k1 = 12, k2 = 2
   • Коэффициент = (19! / (12! * 2! * 5!)) * (3¹²) * (-1)² = 3876 * 531441 * 1 = 2060660166.

Теперь суммируем все полученные коэффициенты:

Сумма = -313236 + 1252992 + 95767746 - 991636044 - 685215372 + 2060660166.

Таким образом, коэффициент при x³⁰ в разложении выражения (3 - x² + x⁵)¹⁹ равен 2060660166.