Метод Ньютона, или метод касательных, является численным методом для нахождения приближенных значений корней уравнения. Давайте применим этот метод к уравнению f(x) = 1/(x-3) - x = 0 с точностью 0.01.

Для начала, выполним следующие шаги:

1. Выбор начального приближения: Необходимо выбрать начальное приближение x0. Для этого полезно построить график функции или провести анализ, чтобы понять, где может находиться корень. В данном случае, функция 1/(x-3) имеет вертикальную асимптоту в точке x = 3, и мы должны выбрать начальное приближение, которое не равно 3.
2. Формула метода Ньютона: Метод Ньютона использует следующую итерационную формулу для нахождения следующего приближения корня:
   • x_(n+1) = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
   где f'(x) — производная функции f(x).
3. Вычисление производной: Найдем производную функции f(x):
   • f(x) = 1/(x-3) - x
   • f'(x) = -1/(x-3)^2 - 1
4. Итерационный процесс: Начнем итерационный процесс, используя начальное приближение x0 и повторяя шаги до достижения нужной точности:
   • Выберите начальное приближение, например, x0 = 2.5 (это значение выбрано произвольно и может быть изменено в зависимости от анализа функции).
   • Вычислите f(x0) и f'(x0).
   • Используйте формулу Ньютона для нахождения x1.
   • Продолжайте итерации до тех пор, пока |x_(n+1) - x_n| < 0.01.

Давайте проведем несколько итераций:

• Итерация 1: x0 = 2.5
  • f(x0) = 1/(2.5-3) - 2.5 = -2 - 2.5 = -4.5
  • f'(x0) = -1/(2.5-3)^2 - 1 = -4 - 1 = -5
  • x1 = 2.5 - (-4.5)/(-5) = 2.5 + 0.9 = 3.4
• Итерация 2: x1 = 3.4
  • f(x1) = 1/(3.4-3) - 3.4 = 2.5 - 3.4 = -0.9
  • f'(x1) = -1/(3.4-3)^2 - 1 = -6.25 - 1 = -7.25
  • x2 = 3.4 - (-0.9)/(-7.25) ≈ 3.4 + 0.124 = 3.524
• Итерация 3: x2 = 3.524
  • f(x2) = 1/(3.524-3) - 3.524 ≈ 1.923 - 3.524 = -1.601
  • f'(x2) = -1/(3.524-3)^2 - 1 ≈ -3.7 - 1 = -4.7
  • x3 = 3.524 - (-1.601)/(-4.7) ≈ 3.524 + 0.34 ≈ 3.864

Продолжайте итерации, пока разница между последовательными приближениями не станет меньше 0.01. В результате, вы получите приближенное значение корня уравнения с требуемой точностью.