Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения f(x) = 0. In (2x) - 2 + х= 0

• 0.011
• 0.0017
• 1.16
• 0.11

Другие предметы Университет Метод Ньютона вычислительные методы метод Ньютона корень уравнения погрешность f(x) = 0 решение уравнения численные методы университет математические модели анализ функций Новый

Для решения уравнения f(x) = 0 методом Ньютона, начнем с определения функции f(x) и её производной f'(x). У нас есть уравнение:

f(x) = ln(2x) - 2 + x

Теперь найдем производную функции:

f'(x) = (1/(2x)) * 2 - 0 + 1 = 1/x + 1

Теперь мы можем применить метод Ньютона. Метод Ньютона заключается в итеративном улучшении приближенного значения корня уравнения с помощью следующей формулы:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Теперь определим начальное приближение. Для этого подберем значение x_n. Поскольку ln(2x) растет, давайте начнем с x_0 = 1.

1. Подставим x_0 в f(x) и f'(x):
• f(1) = ln(2*1) - 2 + 1 = ln(2) - 1 ≈ 0.693 - 1 = -0.307
• f'(1) = 1/1 + 1 = 2
2. Теперь применим формулу Ньютона:
• x_1 = 1 - (-0.307) / 2 = 1 + 0.1535 ≈ 1.1535

Теперь повторим итерацию:

1. Подставим x_1 в f(x) и f'(x):
• f(1.1535) = ln(2*1.1535) - 2 + 1.1535 ≈ 0.154
• f'(1.1535) = 1/1.1535 + 1 ≈ 1.866
2. Применим формулу Ньютона:
• x_2 = 1.1535 - 0.154 / 1.866 ≈ 1.1535 - 0.0825 ≈ 1.0710

Продолжим итерации, пока не достигнем заданной точности (погрешность не превышает 0.01):

1. Подставим x_2 в f(x) и f'(x):
• f(1.0710) ≈ -0.0087
• f'(1.0710) ≈ 1.93
2. Применим формулу Ньютона:
• x_3 = 1.0710 - (-0.0087) / 1.93 ≈ 1.0710 + 0.0045 ≈ 1.0755

Теперь проверим, насколько близко мы подошли к корню, подставив x_3 обратно в f(x):

1. f(1.0755) ≈ 0.0002

Мы видим, что f(1.0755) близко к 0, и если мы проведем еще одну итерацию, то сможем получить значение, которое будет соответствовать заданной точности. Однако, на этом этапе мы уже достигли погрешности меньше 0.01.

Таким образом, корень уравнения f(x) = 0 методом Ньютона с погрешностью не превышающей 0.01 составляет примерно 1.0755.