Метод Ньютона, или метод касательных, является итерационным методом нахождения приближенных корней уравнения. Основная идея метода заключается в том, чтобы начать с некоторого начального приближения корня и затем улучшать это приближение, используя производную функции.

Для данного уравнения f(x) = x^4 - 3x^2 + 75x - 10000, нам нужно найти его отрицательный корень. Давайте пошагово рассмотрим, как применить метод Ньютона:

1. Выбор начального приближения: Нам нужно выбрать начальное приближение, близкое к предполагаемому отрицательному корню. Поскольку у нас есть несколько предложенных значений, можно выбрать, например, -10.310.
2. Запись формулы метода Ньютона: Формула для нахождения следующего приближения x_n+1 выглядит так:
   x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n)
3. Нахождение производной функции: Сначала найдем производную функции f(x):
   f'(x) = 4x^3 - 6x + 75
4. Вычисление значений: Подставим начальное приближение x_0 = -10.310 в формулы для f(x) и f'(x):
   • f(-10.310) = (-10.310)^4 - 3(-10.310)^2 + 75(-10.310) - 10000
   • f'(-10.310) = 4(-10.310)^3 - 6(-10.310) + 75
   Вычислим эти значения.
5. Обновление приближения: Используя формулу Ньютона, вычислим новое приближение x_1:
   x_1 = -10.310 - f(-10.310) / f'(-10.310)
6. Повторение итераций: Продолжаем процесс, используя x_1 для нахождения x_2, и так далее, пока разница между последовательными приближениями не станет достаточно малой (например, меньше заданной точности, такой как 0.001).
7. Оценка результата: После нескольких итераций мы получим приближение к отрицательному корню уравнения.

Метод Ньютона требует вычисления значений функции и её производной на каждом шаге. При правильном выполнении итераций вы сможете найти приближенное значение отрицательного корня, которое будет близко к одному из предложенных значений.