Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения f(x)= 0. ехр(x) + х - 7 = О

• 0.0000011
• 0.0017
• -0.16
• 1.67

Другие предметы Университет Метод Ньютона вычислительные методы метод Ньютона корень уравнения погрешность f(x)=0 экспоненциальная функция математические методы численные методы университет решение уравнений Новый

Метод Ньютона — это итерационный метод для нахождения корней уравнений. Давайте разберем, как применить этот метод для уравнения f(x) = exp(x) + x - 7 с заданной точностью.

Шаг 1: Определение функции и её производной

Сначала нам нужно определить функцию f(x) и её производную f'(x):

• f(x) = exp(x) + x - 7
• f'(x) = exp(x) + 1

Шаг 2: Выбор начального приближения

Метод Ньютона требует начального приближения. Мы можем выбрать начальное значение x0. Для этого можно использовать график функции или просто подставить несколько значений, чтобы найти область, где функция меняет знак. Например, если подставить x = 1, то:

• f(1) = exp(1) + 1 - 7 ≈ 2.718 + 1 - 7 ≈ -3.282 (отрицательное)

Подставив x = 2:

• f(2) = exp(2) + 2 - 7 ≈ 7.389 + 2 - 7 ≈ 2.389 (положительное)

Таким образом, начальное приближение можно взять как x0 = 1.5, так как оно находится между 1 и 2, где функция меняет знак.

Шаг 3: Итерации метода Ньютона

Теперь мы будем использовать формулу метода Ньютона:

x(n+1) = x(n) - f(x(n)) / f'(x(n))

Проводим итерации, пока не достигнем заданной точности (0.01):

1. Итерация 1:
• x0 = 1.5
• f(1.5) = exp(1.5) + 1.5 - 7 ≈ -2.351
• f'(1.5) = exp(1.5) + 1 ≈ 5.481
• x1 = 1.5 - (-2.351) / 5.481 ≈ 1.5 + 0.429 ≈ 1.929
2. Итерация 2:
• x1 = 1.929
• f(1.929) = exp(1.929) + 1.929 - 7 ≈ -0.056
• f'(1.929) = exp(1.929) + 1 ≈ 6.016
• x2 = 1.929 - (-0.056) / 6.016 ≈ 1.929 + 0.009 ≈ 1.938
3. Итерация 3:
• x2 = 1.938
• f(1.938) = exp(1.938) + 1.938 - 7 ≈ 0.0009
• f'(1.938) = exp(1.938) + 1 ≈ 6.027
• x3 = 1.938 - 0.0009 / 6.027 ≈ 1.938 - 0.000149 ≈ 1.938

Шаг 4: Проверка точности

Теперь проверяем разницу между x2 и x3:

• |x3 - x2| = |1.938 - 1.938| < 0.01

Мы достигли необходимой точности.

Ответ: Корень уравнения f(x) = 0 методом Ньютона равен примерно 1.938.