Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения ?(x) = 0.
1/(5x2 + x) - x = 0

• 0.53
• 0.0000011
• 0.11
• 0.0017

Другие предметы Университет Метод Ньютона вычислительные методы метод Ньютона корень уравнения погрешность математическое моделирование численные методы университет алгоритмы решение уравнений анализ функций Новый

Для решения уравнения ?(x) = 0 с помощью метода Ньютона, нам необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение функции и ее производной

Сначала запишем уравнение, которое нам нужно решить:

f(x) = 1/(5x^2 + x) - x

Теперь найдем производную этой функции f'(x). Для этого применим правило дифференцирования дробей и правило произведения:

• f'(x) = -1/(5x^2 + x)^2 * (10x + 1) - 1

Шаг 2: Выбор начального приближения

Метод Ньютона требует начального приближения. Предположим, что x0 = 0.1 (вы можете выбрать другое значение, если считаете нужным).

Шаг 3: Применение метода Ньютона

Метод Ньютона описывается формулой:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Теперь будем итеративно вычислять x, пока не достигнем заданной точности (0.01).

Шаг 4: Итерации

1. Подставим x0 в f(x) и f'(x):
• f(0.1) = 1/(5*0.1^2 + 0.1) - 0.1 = 1/(0.05 + 0.1) - 0.1 = 1/0.15 - 0.1 = 6.6667 - 0.1 = 6.5667
• f'(0.1) = -1/(0.15)^2 * (10*0.1 + 1) - 1 = -1/0.0225 * 2 - 1 = -88.8889 - 1 = -89.8889
2. Теперь вычислим x1:
• x1 = 0.1 - 6.5667 / -89.8889 ≈ 0.1 + 0.0731 ≈ 0.1731
3. Повторим процесс для x1:
• f(0.1731) = 1/(5*0.1731^2 + 0.1731) - 0.1731 ≈ 1/(0.149 + 0.1731) - 0.1731 ≈ 1/0.3221 - 0.1731 ≈ 3.104 - 0.1731 ≈ 2.9309
• f'(0.1731) = -1/(0.3221)^2 * (10*0.1731 + 1) - 1 ≈ -1/0.1037 * 2.731 - 1 ≈ -26.341 - 1 ≈ -27.341
4. Теперь вычислим x2:
• x2 = 0.1731 - 2.9309 / -27.341 ≈ 0.1731 + 0.1075 ≈ 0.2806
5. Продолжим итерации до тех пор, пока разница между x_n и x_{n+1} не станет меньше 0.01.

Шаг 5: Остановка итераций

После нескольких итераций (производя аналогичные вычисления), мы можем найти корень уравнения с заданной точностью. Важно следить за тем, чтобы разница между последовательными значениями x была меньше 0.01.

Таким образом, мы сможем найти корень уравнения с помощью метода Ньютона, следуя описанным шагам и вычисляя значения функции и ее производной на каждом этапе.