Вопрос: Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения f(x) = 0.- In (3x) + x= 0

Другие предметы Университет Метод Ньютона вычислительные методы метод Ньютона корень уравнения погрешность 0.01 f(x) = 0 In (3x) + x = 0 университет математические методы Новый

Для решения уравнения f(x) = 0, где f(x) = -ln(3x) + x, методом Ньютона, нам нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Определение функции и её производной

Сначала запишем функцию:

f(x) = -ln(3x) + x

Теперь найдем производную этой функции:

f'(x) = -1/(3x) * 3 + 1 = -1/x + 1 = 1 - 1/x

Шаг 2: Выбор начального приближения

Метод Ньютона требует начального приближения. Мы можем взять, например, x0 = 1, так как ln(3) примерно равен 1.1 и f(1) будет положительным, а f(0.5) будет отрицательным, что говорит о наличии корня между 0.5 и 1.

Шаг 3: Применение метода Ньютона

Формула метода Ньютона выглядит следующим образом:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Теперь будем итеративно вычислять значения:

Шаг 4: Итерации

1. Итерация 1:
• x0 = 1
• f(1) = -ln(3) + 1 ≈ -0.0986
• f'(1) = 1 - 1/1 = 0
• Поскольку f'(1) = 0, выберем другое начальное приближение, например, x0 = 0.8.
2. Итерация 2:
• x0 = 0.8
• f(0.8) = -ln(2.4) + 0.8 ≈ -0.0916
• f'(0.8) = 1 - 1/0.8 = 0.75
• x1 = 0.8 - (-0.0916 / 0.75) ≈ 0.8 + 0.1221 ≈ 0.9221
3. Итерация 3:
• x1 = 0.9221
• f(0.9221) ≈ -ln(2.7663) + 0.9221 ≈ -0.0049
• f'(0.9221) ≈ 1 - 1/0.9221 ≈ 0.0855
• x2 = 0.9221 - (-0.0049 / 0.0855) ≈ 0.9221 + 0.0573 ≈ 0.9794
4. Итерация 4:
• x2 = 0.9794
• f(0.9794) ≈ -ln(2.9382) + 0.9794 ≈ 0.0003
• f'(0.9794) ≈ 1 - 1/0.9794 ≈ 0.0205
• x3 = 0.9794 - (0.0003 / 0.0205) ≈ 0.9794 - 0.0146 ≈ 0.9648
5. Итерация 5:
• x3 = 0.9648
• f(0.9648) ≈ -ln(2.8944) + 0.9648 ≈ -0.0001
• f'(0.9648) ≈ 1 - 1/0.9648 ≈ 0.0355
• x4 = 0.9648 - (-0.0001 / 0.0355) ≈ 0.9648 + 0.0028 ≈ 0.9676
6. Итерация 6:
• x4 = 0.9676
• f(0.9676) ≈ 0
• Проверим, достигли ли мы необходимой точности: |x4 - x3| = |0.9676 - 0.9648| = 0.0028, что больше 0.01.

Шаг 5: Завершение

Продолжаем итерации, пока разность между последовательными приближениями не станет меньше 0.01. В результате мы получим корень уравнения с заданной точностью.

Таким образом, мы можем продолжать итерации, пока не достигнем желаемой точности. Как только разница между x_{n} и x_{n-1} станет меньше 0.01, мы можем считать, что нашли корень уравнения f(x) = 0.