Для нахождения предела lim (eˣ − 1) / (sin2x) при x → 0 мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, так как при подстановке x = 0 в числитель и знаменатель мы получаем неопределенность вида 0/0.

Шаги решения:

1. Проверка неопределенности:
   • При x = 0: eˣ = e^0 = 1, значит eˣ - 1 = 0.
   • При x = 0: sin(2x) = sin(0) = 0.
   Итак, у нас действительно неопределенность 0/0.
2. Применение правила Лопиталя:

   По правилу Лопиталя мы можем взять производные числителя и знаменателя:

   • Производная числителя (eˣ - 1): d(eˣ)/dx = eˣ.
   • Производная знаменателя (sin(2x)): d(sin(2x))/dx = 2cos(2x).

   Теперь мы можем записать новый предел:

   lim (eˣ) / (2cos(2x)),x → 0.
3. Подстановка x = 0:
   • При x = 0: eˣ = e^0 = 1.
   • При x = 0: cos(2x) = cos(0) = 1.
   Теперь предел будет: lim (1) / (2*1) = 1/2.

Таким образом, предел lim (eˣ − 1) / (sin2x) при x → 0 равен 1/2.