Вычислите предел по правилу Лопиталя lim ln(x² – 3) / (x² – 3x + 2), при x ⟶ 2

• 4
• 1
• 0
• 2

Другие предметы Университет Пределы и правило Лопиталя предел по правилу Лопиталя высшая математика университет вычисление предела предел функции ln(x² – 3) x ⟶ 2 математика для студентов Новый

Для вычисления предела lim ln(x² – 3) / (x² – 3x + 2) при x → 2, мы сначала подставим значение x = 2 в выражение:

• В числителе: ln(2² - 3) = ln(4 - 3) = ln(1) = 0.
• В знаменателе: 2² - 3*2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0.

Таким образом, мы получаем неопределенность вида 0/0, что позволяет нам применить правило Лопиталя. Это правило гласит, что если предел функции f(x)/g(x) при x → a имеет вид 0/0 или ∞/∞, то:

lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x), если предел правой части существует.

Теперь найдем производные числителя и знаменателя:

• Числитель: f(x) = ln(x² - 3). Найдем f'(x):
• f'(x) = (1/(x² - 3)) * (2x) = 2x / (x² - 3).
• Знаменатель: g(x) = x² - 3x + 2. Найдем g'(x):
• g'(x) = 2x - 3.

Теперь применим правило Лопиталя:

lim ln(x² – 3) / (x² – 3x + 2) = lim (2x / (x² - 3)) / (2x - 3) при x → 2.

Подставим x = 2 в новые выражения:

• Числитель: 2*2 / (2² - 3) = 4 / (4 - 3) = 4 / 1 = 4.
• Знаменатель: 2*2 - 3 = 4 - 3 = 1.

Теперь мы можем найти предел:

lim (2x / (x² - 3)) / (2x - 3) = 4 / 1 = 4.

Ответ: Предел lim ln(x² – 3) / (x² – 3x + 2) при x → 2 равен 4.