Чтобы вычислить предел функции lim ln(x² − 8) / (x² − 9) при x → 3 с использованием правила Лопиталя, необходимо сначала убедиться, что предел имеет неопределенность вида 0/0 или ∞/∞.

Подставим x = 3 в числитель и знаменатель:

• Числитель: ln(3² − 8) = ln(9 − 8) = ln(1) = 0
• Знаменатель: 3² − 9 = 9 − 9 = 0

Поскольку мы получили неопределенность вида 0/0, можем применить правило Лопиталя. Правило Лопиталя говорит, что если предел имеет неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то:

lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x),x → a

где f'(x) и g'(x) — производные числителя и знаменателя соответственно.

Рассчитаем производные:

• Производная числителя: f(x) = ln(x² − 8)
• Производная f'(x) = 1/(x² − 8) * (2x) = 2x/(x² − 8)
• Производная знаменателя: g(x) = x² − 9
• Производная g'(x) = 2x

Теперь применим правило Лопиталя:

lim ln(x² − 8) / (x² − 9),x → 3 = lim (2x/(x² − 8)) / (2x),x → 3

Упростим выражение:

lim (2x/(x² − 8)) / (2x),x → 3 = lim 1/(x² − 8),x → 3

Теперь подставим x = 3:

1/(3² − 8) = 1/(9 − 8) = 1/1 = 1

Таким образом, предел равен 1.