Похожие вопросы
2025-03-14 16:24:44
Вычислите предел по правилу Лопиталя lim ln(x² − 8) / (x² − 9), x -> 3
Другие предметы Университет Пределы и правило Лопиталя предел по правилу Лопиталя математический анализ университет вычисление предела лимит функции ln(x² − 8) (x² − 9) x стремится к 3
2025-07-19 18:00:05
Чтобы вычислить предел функции lim ln(x² − 8) / (x² − 9) при x → 3 с использованием правила Лопиталя, необходимо сначала убедиться, что предел имеет неопределенность вида 0/0 или ∞/∞.
Подставим x = 3 в числитель и знаменатель:
- Числитель: ln(3² − 8) = ln(9 − 8) = ln(1) = 0
- Знаменатель: 3² − 9 = 9 − 9 = 0
Поскольку мы получили неопределенность вида 0/0, можем применить правило Лопиталя. Правило Лопиталя говорит, что если предел имеет неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то:
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x), x → a
где f'(x) и g'(x) — производные числителя и знаменателя соответственно.
Рассчитаем производные:
- Производная числителя: f(x) = ln(x² − 8)
- Производная f'(x) = 1/(x² − 8) * (2x) = 2x/(x² − 8)
- Производная знаменателя: g(x) = x² − 9
- Производная g'(x) = 2x
Теперь применим правило Лопиталя:
lim ln(x² − 8) / (x² − 9), x → 3 = lim (2x/(x² − 8)) / (2x), x → 3
Упростим выражение:
lim (2x/(x² − 8)) / (2x), x → 3 = lim 1/(x² − 8), x → 3
Теперь подставим x = 3:
1/(3² − 8) = 1/(9 − 8) = 1/1 = 1
Таким образом, предел равен 1.