Вычислите предел по правилу Лопиталя lim (1 − cos4x) / (1 − cos6x), x⟶0

Другие предметы Университет Пределы и правило Лопиталя предел правило Лопиталя математический анализ cos лимит x стремится к нулю вычисление предела Новый

Для вычисления предела lim (1 − cos(4x)) / (1 − cos(6x)) при x → 0, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя. Это правило применяется, когда предел имеет неопределенность вида 0/0 или ∞/∞.

Сначала проверим, что происходит с числителем и знаменателем при x → 0:

• Числитель: 1 - cos(4x) → 1 - 1 = 0.
• Знаменатель: 1 - cos(6x) → 1 - 1 = 0.

Таким образом, у нас действительно неопределенность 0/0, и мы можем применить правило Лопиталя. Это правило гласит, что если предел имеет вид 0/0, то мы можем взять производные числителя и знаменателя.

Теперь найдем производные:

• Производная числителя (1 - cos(4x)):
• Производная cos(4x) равна -4sin(4x), следовательно, производная 1 - cos(4x) равна 4sin(4x).
• Производная знаменателя (1 - cos(6x)):
• Производная cos(6x) равна -6sin(6x), следовательно, производная 1 - cos(6x) равна 6sin(6x).

Теперь мы можем записать новый предел:

lim (4sin(4x)) / (6sin(6x)) при x → 0.

Теперь снова проверим, что происходит с числителем и знаменателем при x → 0:

• Числитель: 4sin(4x) → 4*0 = 0.
• Знаменатель: 6sin(6x) → 6*0 = 0.

Мы снова имеем неопределенность 0/0, поэтому можем снова применить правило Лопиталя.

Находим производные снова:

• Производная числителя (4sin(4x)):
• Производная sin(4x) равна 4cos(4x), следовательно, производная 4sin(4x) равна 16cos(4x).
• Производная знаменателя (6sin(6x)):
• Производная sin(6x) равна 6cos(6x), следовательно, производная 6sin(6x) равна 36cos(6x).

Теперь мы можем записать новый предел:

lim (16cos(4x)) / (36cos(6x)) при x → 0.

Теперь подставим x = 0:

• Числитель: 16cos(4*0) = 16cos(0) = 16*1 = 16.
• Знаменатель: 36cos(6*0) = 36cos(0) = 36*1 = 36.

Таким образом, предел равен:

lim (16cos(4x)) / (36cos(6x)) = 16 / 36 = 4 / 9.

Ответ:

lim (1 − cos(4x)) / (1 − cos(6x)) при x → 0 = 4 / 9.