Для вычисления предела lim (x² / (1 - cos(6x))) при x стремящемся к 0, мы заметим, что при подстановке x = 0 в числитель и знаменатель мы получаем 0/0, что является неопределённой формой. В таких случаях можно применить правило Лопиталя.

Шаг 1: Применение правила Лопиталя

По правилу Лопиталя, если предел имеет форму 0/0 или ∞/∞, то мы можем взять производные числителя и знаменателя:

• Числитель: f(x) = x², тогда f'(x) = 2x
• Знаменатель: g(x) = 1 - cos(6x),тогда g'(x) = 6sin(6x)

Шаг 2: Вычисление нового предела

Теперь мы можем записать новый предел:

lim (x² / (1 - cos(6x))) = lim (2x / (6sin(6x))) при x → 0.

Снова подставляем x = 0:

2*0 / (6*sin(0)) = 0/0, что также является неопределённой формой. Поэтому мы снова применим правило Лопиталя.

• Числитель: f(x) = 2x, тогда f'(x) = 2
• Знаменатель: g(x) = 6sin(6x),тогда g'(x) = 36cos(6x)

Шаг 3: Вычисление нового предела

Теперь у нас есть:

lim (2 / (36cos(6x))) при x → 0.

Подставляем x = 0:

2 / (36cos(0)) = 2 / 36 = 1/18.

Ответ: Предел lim (x² / (1 - cos(6x))) при x стремящемся к 0 равен 1/18.