Общее решение уравнения y''-4y=0 имеет вид …

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка общее решение уравнения y''-4y=0 математика университет Дифференциальные уравнения математический анализ Новый

Для решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, такого как y'' - 4y = 0, мы можем следовать определенным шагам.

Шаг 1: Запишем характеристическое уравнение.

Сначала мы предположим, что решение уравнения имеет вид y = e^(rt), где r — это константа, которую мы должны найти. Подставляя это предположение в уравнение, мы получаем:

• y'' = r²e^(rt)
• Подставим в уравнение: r²e^(rt) - 4e^(rt) = 0

Теперь можем вынести e^(rt) за скобки:

• e^(rt)(r² - 4) = 0

Поскольку e^(rt) не может быть равно нулю для всех t, мы получаем характеристическое уравнение:

r² - 4 = 0

Шаг 2: Найдем корни характеристического уравнения.

Решая уравнение r² - 4 = 0, мы можем записать:

• r² = 4
• r = ±2

Таким образом, у нас есть два различных действительных корня: r1 = 2 и r2 = -2.

Шаг 3: Запишем общее решение.

Общее решение дифференциального уравнения с двумя различными корнями имеет следующий вид:

y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t),

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

Подставляя найденные значения r1 и r2, мы получаем:

y(t) = C1 * e^(2t) + C2 * e^(-2t).

Ответ: Общее решение уравнения y'' - 4y = 0 имеет вид:

y(t) = C1 * e^(2t) + C2 * e^(-2t),

где C1 и C2 — произвольные постоянные.