Похожие вопросы
2025-09-15 20:22:42
Общее решение уравнения y''-4y=0 имеет вид …
- y = c₁e²ˣ + c₂e⁻²ˣ
- y = c₁e²ˣ
- y = c₁e⁻³ˣ
Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения второго порядка уравнение общее решение математика университет Дифференциальные уравнения y''-4y=0 C1 C2 e²ˣ e⁻²ˣ
2025-09-15 20:22:58
Чтобы найти общее решение уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, давайте сначала запишем данное уравнение:
y'' - 4y = 0
Это уравнение имеет характерный вид, который мы можем решить, найдя его характеристическое уравнение. Для этого мы предположим, что решение имеет вид:
y = e^(rx)
где r - это некоторое число. Подставим это выражение в наше уравнение:
- Вычислим первую и вторую производные:
- y' = re^(rx)
- y'' = r²e^(rx)
- Теперь подставим y, y', y'' в уравнение:
- r²e^(rx) - 4e^(rx) = 0
- Вынесем e^(rx) за скобки (заметим, что e^(rx) не равно нулю):
- e^(rx)(r² - 4) = 0
- Теперь приравняем выражение в скобках к нулю:
- r² - 4 = 0
- Решим это уравнение:
- r² = 4
- r = ±2
Таким образом, мы получили два корня: r₁ = 2 и r₂ = -2.
Общее решение уравнения будет состоять из линейной комбинации экспоненциальных функций, связанных с найденными корнями:
y = c₁e^(2x) + c₂e^(-2x)
где c₁ и c₂ - произвольные постоянные, определяемые начальными условиями.
Теперь, если мы посмотрим на предложенные варианты ответов, то общее решение уравнения:
- y = c₁e²ˣ + c₂e⁻²ˣ - это правильный ответ.
- y = c₁e²ˣ - это частное решение, но не общее.
- y = c₁e⁻³ˣ - это тоже не относится к данному уравнению.
Таким образом, правильный ответ на ваш вопрос:
y = c₁e²ˣ + c₂e⁻²ˣ