Определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x))dx, x=0..3 равен …

• 8/3
• 3/8
• 1/3

Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика университет интегралы вычисление интегралов математика для студентов интегрирование математический анализ учебные задачи примеры интегралов Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫ (x / √(1 + x)) dx от 0 до 3, мы начнем с нахождения неопределенного интеграла. Для этого воспользуемся методом подстановки.

Шаг 1: Подстановка

• Пусть u = 1 + x. Тогда du = dx, и x = u - 1.
• Когда x = 0, u = 1; когда x = 3, u = 4.

Теперь перепишем интеграл в новых переменных:

∫ (x / √(1 + x)) dx = ∫ ((u - 1) / √u) du.

Шаг 2: Разделение интеграла

Теперь мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла:

∫ ((u - 1) / √u) du = ∫ (u / √u) du - ∫ (1 / √u) du.

Это упрощается до:

∫ (u^(1/2)) du - ∫ (u^(-1/2)) du.

Шаг 3: Интегрирование

Теперь найдем интегралы:

• ∫ (u^(1/2)) du = (2/3) u^(3/2) + C.
• ∫ (u^(-1/2)) du = 2 u^(1/2) + C.

Таким образом, получаем:

∫ ((u - 1) / √u) du = (2/3) u^(3/2) - 2 u^(1/2) + C.

Шаг 4: Подстановка обратно

Теперь подставим обратно значение u = 1 + x:

(2/3) (1 + x)^(3/2) - 2 (1 + x)^(1/2) + C.

Шаг 5: Определенный интеграл

Теперь вычислим определенный интеграл от 0 до 3:

∫ (x / √(1 + x)) dx от 0 до 3 = [(2/3) (1 + 3)^(3/2) - 2 (1 + 3)^(1/2)] - [(2/3) (1 + 0)^(3/2) - 2 (1 + 0)^(1/2)].

Теперь подставим значения:

• (1 + 3)^(3/2) = 4^(3/2) = 8;
• (1 + 3)^(1/2) = 4^(1/2) = 2;
• (1 + 0)^(3/2) = 1;
• (1 + 0)^(1/2) = 1.

Таким образом, получаем:

[(2/3) * 8 - 2 * 2] - [(2/3) * 1 - 2 * 1].

Вычисляем:

• Первый член: (16/3 - 4) = (16/3 - 12/3) = 4/3;
• Второй член: (2/3 - 2) = (2/3 - 6/3) = -4/3.

Теперь вычтем второй член из первого:

(4/3) - (-4/3) = (4/3 + 4/3) = 8/3.

Ответ: Определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x)) dx от 0 до 3 равен 8/3.