Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x))dx на интервале от 3 до 8, мы сначала найдем неопределенный интеграл, а затем подставим пределы интегрирования.

1. **Найдем неопределенный интеграл**:

Для интегрирования функции x / √(1 + x) мы можем использовать метод подстановки. Пусть:

• u = 1 + x
• Тогда du = dx
• И x = u - 1

Теперь подставим u в интеграл:

Когда x = 3, u = 1 + 3 = 4, а когда x = 8, u = 1 + 8 = 9.

Таким образом, наш интеграл преобразуется следующим образом:

∫ (x / √(1 + x)) dx = ∫ ((u - 1) / √u) du.

Теперь мы можем разделить интеграл на два отдельных интеграла:

∫ ((u - 1) / √u) du = ∫ (u / √u) du - ∫ (1 / √u) du.

Это упрощается до:

∫ u^(1/2) du - ∫ u^(-1/2) du.

Теперь найдём интегралы:

• ∫ u^(1/2) du = (2/3) u^(3/2) + C
• ∫ u^(-1/2) du = 2 u^(1/2) + C

Итак, мы можем записать:

∫ (x / √(1 + x)) dx = (2/3) u^(3/2) - 2 u^(1/2) + C.

Теперь вернемся к переменной x:

∫ (x / √(1 + x)) dx = (2/3) (1 + x)^(3/2) - 2 (1 + x)^(1/2) + C.

2. **Теперь подставим пределы интегрирования**:

Вычислим интеграл от 3 до 8:

∫ (x / √(1 + x)) dx от 3 до 8 = [(2/3) (1 + 8)^(3/2) - 2 (1 + 8)^(1/2)] - [(2/3) (1 + 3)^(3/2) - 2 (1 + 3)^(1/2)].

Теперь подставим значения:

• Для x = 8: (1 + 8) = 9, (1 + 8)^(3/2) = 27, (1 + 8)^(1/2) = 3.
• Для x = 3: (1 + 3) = 4, (1 + 3)^(3/2) = 8, (1 + 3)^(1/2) = 2.

Теперь подставим эти значения в формулу:

[(2/3) * 27 - 2 * 3] - [(2/3) * 8 - 2 * 2].

Вычислим каждую часть:

• Первое выражение: (2/3) * 27 = 18, 2 * 3 = 6, значит 18 - 6 = 12.
• Второе выражение: (2/3) * 8 = 16/3, 2 * 2 = 4, значит 16/3 - 4 = 16/3 - 12/3 = 4/3.

Теперь вычтем второе выражение из первого:

12 - 4/3 = 36/3 - 4/3 = 32/3.

Таким образом, значение определенного интеграла ∫ (x / √(1 + x))dx от 3 до 8 равно 32/3.