Чтобы найти определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x)) dx от 3 до 8, мы можем воспользоваться методом подстановки.

Шаг 1: Подстановка

Для начала сделаем подстановку:

• Пусть u = 1 + x. Тогда du = dx, и x = u - 1.

Теперь изменим пределы интегрирования:

• Когда x = 3, u = 1 + 3 = 4.
• Когда x = 8, u = 1 + 8 = 9.

Шаг 2: Изменим интеграл

Теперь подставим все в интеграл:

• ∫ (x / √(1 + x)) dx = ∫ ((u - 1) / √u) du.

Разделим интеграл на два:

• ∫ ((u - 1) / √u) du = ∫ (u / √u) du - ∫ (1 / √u) du.
• Это равняется ∫ (√u) du - ∫ (u^(-1/2)) du.

Шаг 3: Интегрирование

Теперь найдем каждый из интегралов:

• ∫ (√u) du = (2/3) u^(3/2) + C.
• ∫ (u^(-1/2)) du = 2u^(1/2) + C.

Таким образом, наш интеграл будет:

• ∫ (u - 1) / √u du = (2/3) u^(3/2) - 2u^(1/2) + C.

Шаг 4: Подставим пределы интегрирования

Теперь подставим пределы интегрирования от 4 до 9:

• F(u) = (2/3) u^(3/2) - 2u^(1/2).

Подставим верхний предел (u = 9):

• F(9) = (2/3) * 9^(3/2) - 2 * 9^(1/2) = (2/3) * 27 - 2 * 3 = 18 - 6 = 12.

Теперь подставим нижний предел (u = 4):

• F(4) = (2/3) * 4^(3/2) - 2 * 4^(1/2) = (2/3) * 8 - 2 * 2 = (16/3) - 4 = (16/3) - (12/3) = 4/3.

Шаг 5: Вычислим определенный интеграл

Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

• ∫ (x / √(1 + x)) dx от 3 до 8 = F(9) - F(4) = 12 - (4/3) = (36/3) - (4/3) = 32/3.

Таким образом, определенный интеграл ∫ (x / √(1 + x)) dx от 3 до 8 равен 32/3.