Предел, о котором вы говорите, скорее всего, относится к пределу, который часто называют "первым замечательным пределом". Это предел, который выражается следующим образом:

lim (x -> 0) (sin x / x) = 1

Давайте разберем, почему этот предел является таким важным и как его можно понять:

1. Определение предела: Предел функции f(x) при x, стремящемся к a, обозначается как lim (x -> a) f(x) и равен L, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что, если 0 < |x - a| < δ, то |f(x) - L| < ε.
2. Графическое представление: Если мы построим график функции y = sin x и проведем прямую y = x, то мы увидим, что когда x стремится к 0, значения sin x и x становятся очень близкими друг к другу.
3. Использование разложения в ряд Тейлора: Для более точного понимания можно использовать разложение функции sin x в ряд Тейлора около точки 0:
   • sin x = x - x^3/6 + x^5/120 - ...

   При делении на x получаем:

   • sin x / x = 1 - x^2/6 + x^4/120 - ...

   Когда x стремится к 0, все члены, содержащие x, стремятся к 0, и мы получаем, что sin x / x стремится к 1.

4. Применение предела: Этот предел имеет множество приложений, особенно в математическом анализе и в области производных. Например, он используется для вычисления производной функции sin x в точке x = 0.

Таким образом, предел sin x / x при x стремящемся к 0 является важным инструментом в математике и помогает в дальнейшем изучении анализа и тригонометрии.