Сходимость положительных рядов — это важная тема в математическом анализе, особенно в курсе, посвященном рядам и интегралам. Рассмотрим основные признаки сходимости положительных рядов.

Положительный ряд — это ряд вида:

Сумма a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n, где все a_n > 0.

Вот несколько ключевых признаков, которые помогут определить сходимость таких рядов:

1. Признак сравнения:
   • Если существует ряд b_n, такой что 0 < a_n ≤ b_n для всех n и ряд b_n сходится, то ряд a_n также сходится.
   • Если ряд b_n расходится и 0 < a_n ≥ b_n для всех n, то ряд a_n также расходится.
2. Признак Даламбера (или признак отношения):
   • Рассматриваем предел: L = lim (n→∞) (a_(n+1)/a_n).
   • Если L < 1, то ряд сходится.
   • Если L > 1, то ряд расходится.
   • Если L = 1, то признак не дает решения, и нужно использовать другие методы.
3. Признак корня:
   • Рассматриваем предел: L = lim (n→∞) n-ая корень из (a_n).
   • Если L < 1, то ряд сходится.
   • Если L > 1, то ряд расходится.
   • Если L = 1, то признак не дает решения, и нужно использовать другие методы.
4. Признак интеграла:
   • Если a_n = f(n),где f(x) — положительная, непрерывная и убывающая функция для x ≥ N, то ряд a_n сходится тогда и только тогда, когда интеграл от f(x) от N до бесконечности сходится.

Каждый из этих признаков позволяет исследовать сходимость положительных рядов с разными свойствами. Важно выбирать подходящий признак в зависимости от конкретного ряда, который вы рассматриваете. Практика и опыт помогут вам лучше ориентироваться в этих методах.