Чтобы расположить данные выражения в правильной последовательности, сначала найдем частные производные функции z(x; y) по x и y.

1. **Частная производная по x первого порядка**:

• Функция: z(x; y) = 3x³ + 7xy - 5x + 3y⁴
• Находим производную по x:
• dz/dx = d(3x³)/dx + d(7xy)/dx - d(5x)/dx + d(3y⁴)/dx
• Применяем правила дифференцирования:
• d(3x³)/dx = 9x²
• d(7xy)/dx = 7y (так как y считается константой)
• d(5x)/dx = 5
• d(3y⁴)/dx = 0 (так как это не зависит от x)
• Складываем все результаты:
• dz/dx = 9x² + 7y - 5

Таким образом, частная производная по x первого порядка: 9x² + 7y - 5.

2. **Частная производная по x второго порядка**:

• Теперь находим производную от dz/dx по x:
• d²z/dx² = d(9x² + 7y - 5)/dx
• Применяем правила дифференцирования:
• d(9x²)/dx = 18x
• d(7y)/dx = 0 (так как y считается константой)
• d(-5)/dx = 0
• Таким образом, d²z/dx² = 18x.

Следовательно, частная производная по x второго порядка: 18x.

3. **Частная производная по y первого порядка**:

• Теперь найдем производную по y:
• dz/dy = d(3x³)/dy + d(7xy)/dy - d(5x)/dy + d(3y⁴)/dy
• Применяем правила дифференцирования:
• d(3x³)/dy = 0 (так как это не зависит от y)
• d(7xy)/dy = 7x
• d(-5x)/dy = 0
• d(3y⁴)/dy = 12y³
• Складываем все результаты:
• dz/dy = 7x + 12y³.

Таким образом, частная производная по y первого порядка: 7x + 12y³.

Теперь мы можем расположить найденные выражения в правильной последовательности:

• Частная производная по x первого порядка: 9x² + 7y - 5
• Частная производная по x второго порядка: 18x
• Частная производная по y первого порядка: 7x + 12y³