Укажите область определения функции √(x² − 2x − 8) + √x

Другие предметы Университет Область определения функции область определения функции математический анализ университет √(x² − 2x − 8) √x функции с корнями решение уравнений анализ функций учебный материал по математике Новый

Для нахождения области определения функции f(x) = √(x² − 2x − 8) + √x, необходимо определить, при каких значениях x оба подкоренных выражения неотрицательны, так как корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

1. Рассмотрим первое подкоренное выражение: √(x² − 2x − 8).

Для того чтобы это выражение было действительным, необходимо, чтобы:

• x² − 2x − 8 ≥ 0.

Решим неравенство x² − 2x − 8 ≥ 0. Сначала найдем корни соответствующего уравнения x² − 2x − 8 = 0.

2. Найдем корни уравнения:

Используем формулу корней квадратного уравнения:

• x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, где a = 1, b = −2, c = −8.

Подставим значения:

• x = (2 ± √((-2)² − 4 * 1 * (−8))) / (2 * 1) = (2 ± √(4 + 32)) / 2 = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2.

Таким образом, получаем два корня:

• x₁ = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4,
• x₂ = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2.

Теперь мы имеем два корня: x₁ = 4 и x₂ = -2. Для того чтобы решить неравенство x² − 2x − 8 ≥ 0, рассмотрим интервал:

• (−∞, -2),
• (-2, 4),
• (4, +∞).

Теперь проверим знак выражения в каждом из интервалов:

• Для интервала (−∞, -2) возьмем, например, x = -3: (-3)² - 2*(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 (положительно);
• Для интервала (-2, 4) возьмем, например, x = 0: 0² - 2*0 - 8 = -8 (отрицательно);
• Для интервала (4, +∞) возьмем, например, x = 5: 5² - 2*5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 (положительно).

Таким образом, неравенство выполняется на интервалах (−∞, -2] и [4, +∞).

3. Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение: √x.

Для этого выражения необходимо, чтобы:

• x ≥ 0.

4. Объединим условия:

Теперь нам нужно объединить результаты:

• Первое условие: x ∈ (−∞, -2] ∪ [4, +∞);
• Второе условие: x ≥ 0.

Объединив эти два условия, получаем:

• Область определения функции: x ∈ [4, +∞).

Таким образом, область определения функции f(x) = √(x² − 2x − 8) + √x равна [4, +∞).