Для нахождения области определения функции y = √(x² – 9x – 22) + 1 / √x, необходимо рассмотреть два выражения: под корнем и в знаменателе.

1. Условие для корня:

Выражение под корнем √(x² – 9x – 22) должно быть неотрицательным:

x² – 9x – 22 ≥ 0.

Сначала найдем корни квадратного уравнения x² – 9x – 22 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-9)² - 4*1*(-22) = 81 + 88 = 169.
• Корни уравнения находятся по формуле x = (−b ± √D) / 2a:
• x₁ = (9 + √169) / 2 = (9 + 13) / 2 = 11;
• x₂ = (9 - √169) / 2 = (9 - 13) / 2 = -2.

Теперь у нас есть корни x₁ = 11 и x₂ = -2. Для нахождения интервалов, на которых выражение x² – 9x – 22 ≥ 0, воспользуемся тестированием знаков:

• Выбираем тестовые точки в интервалах (-∞, -2), (-2, 11) и (11, ∞):
• Для x < -2 (например, x = -3): (-3)² - 9*(-3) - 22 = 9 + 27 - 22 = 14 (положительно);
• Для -2 < x < 11 (например, x = 0): 0² - 9*0 - 22 = -22 (отрицательно);
• Для x > 11 (например, x = 12): 12² - 9*12 - 22 = 144 - 108 - 22 = 14 (положительно).

Таким образом, выражение x² – 9x – 22 ≥ 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -2] и [11, ∞).

2. Условие для знаменателя:

Выражение в знаменателе 1 / √x требует, чтобы x было строго положительным:

x > 0.

3. Объединение условий:

Теперь нам нужно объединить условия:

• Первое условие: x ∈ (-∞, -2] ∪ [11, ∞);
• Второе условие: x > 0.

Объединяя эти два условия, мы получаем:

• С учетом второго условия, область определения будет ограничена интервалом [11, ∞).

Итак, окончательная область определения функции:

Область определения: [11; ∞).