Укажите уравнение окружности, которая проходит через точку А(3;1), а ее центр лежит на прямой 3x-y-2=0

• (x-2)^2+(y-4)^2=16
• (x-2)^2-(y+4)^2=5
• (x-2)^2-(y+4)^2=10
• (x-2)^2+(y-4)^2=10

Другие предметы Университет Уравнения окружности уравнение окружности высшая математика центр окружности прямая 3x-y-2=0 точка А(3;1) задачи по математике университетские задачи аналитическая геометрия Новый

Для того чтобы найти уравнение окружности, которая проходит через точку A(3;1) и имеет центр на прямой 3x - y - 2 = 0, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем уравнение прямой.

Прямая 3x - y - 2 = 0 может быть записана в виде y = 3x - 2. Это значит, что любой центр окружности будет иметь координаты (x, 3x - 2).

Шаг 2: Запишем уравнение окружности.

Уравнение окружности с центром в точке (h, k) и радиусом r имеет вид:

(x - h)² + (y - k)² = r².

Подставляя координаты центра, получаем:

(x - h)² + (y - (3h - 2))² = r².

Шаг 3: Найдем радиус.

Радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до точки A(3;1). Это расстояние можно выразить через координаты центра (h, 3h - 2):

r = √((3 - h)² + (1 - (3h - 2))²).

Упростим это выражение:

r = √((3 - h)² + (1 - 3h + 2)²) = √((3 - h)² + (3 - 3h)²).

Шаг 4: Установим, что точка A принадлежит окружности.

Поскольку точка A(3;1) принадлежит окружности, мы можем записать:

(3 - h)² + (1 - (3h - 2))² = r².

Подставим выражение для r²:

(3 - h)² + (3 - 3h)² = (3 - h)² + (1 - (3h - 2))².

Шаг 5: Подставим координаты центра и упростим уравнение.

Теперь подставим (h, 3h - 2) в уравнение окружности и упростим:

1. Подставим h в уравнение окружности.

2. Упростим уравнение.

Шаг 6: Найдем значение h.

Решим уравнение, чтобы найти значение h. После нахождения h, мы можем подставить его обратно в уравнение окружности, чтобы получить окончательное уравнение окружности.

Шаг 7: Проверка.

После того как мы получим уравнение окружности, можно проверить, что точка A(3;1) действительно принадлежит окружности, подставив её координаты в полученное уравнение.

Ответ:

В результате выполнения всех шагов вы получите уравнение окружности, которое будет выглядеть как:

(x - h)² + (y - (3h - 2))² = r².

Где h - значение, найденное в процессе решения.