Чтобы найти уравнение окружности, нам нужно знать две вещи: центр окружности и её радиус. В данном случае центр окружности задан точкой (1, -3), а окружность должна проходить через точку (4, 5). Используя эти данные, мы можем найти радиус окружности, а затем составить её уравнение.

Уравнение окружности с центром в точке (h, k) и радиусом r имеет вид:

(x - h)² + (y - k)² = r²

В нашем случае центр окружности (h, k) = (1, -3). Таким образом, уравнение окружности принимает вид:

(x - 1)² + (y + 3)² = r²

Теперь нам нужно найти радиус r. Радиус — это расстояние от центра окружности до любой точки на окружности. В данном случае у нас есть точка (4, 5), через которую проходит окружность. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти радиус:

Формула расстояния между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) выглядит следующим образом:

r = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Подставим наши значения:

• x₁ = 1, y₁ = -3 (центр окружности)
• x₂ = 4, y₂ = 5 (точка на окружности)

Подставим в формулу:

r = √((4 - 1)² + (5 - (-3))²)

r = √((3)² + (8)²)

r = √(9 + 64)

r = √73

Теперь мы знаем, что радиус окружности равен √73. Подставим это значение в уравнение окружности:

(x - 1)² + (y + 3)² = 73

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точку (4, 5) и с центром в точке (1, -3), будет:

(x - 1)² + (y + 3)² = 73