Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три точки A, B и C, нам нужно выполнить несколько шагов.

Уравнение плоскости в пространстве можно записать в виде:

Ax + By + Cz + D = 0

где A, B, C - коэффициенты, определяющие нормаль к плоскости, а D - свободный член.

Следующие шаги помогут нам найти уравнение плоскости:

1. Найти векторы AB и AC.
   • Вектор AB = B - A = (4 - (-2),5 - 2, 6 - 8) = (6, 3, -2).
   • Вектор AC = C - A = (2 - (-2),4 - 2, 6 - 8) = (4, 2, -2).
2. Найти векторное произведение векторов AB и AC.
   • Векторное произведение AB x AC даст нам нормаль к плоскости. Вычислим это произведение:
   • AB x AC = |i j k|
   • |6 3 -2|
   • |4 2 -2|
   • Теперь найдем определитель:
   • i(3 * (-2) - (-2) * 2) - j(6 * (-2) - (-2) * 4) + k(6 * 2 - 3 * 4)
   • = i(-6 + 4) - j(-12 + 8) + k(12 - 12)
   • = -2i + 4j + 0k
   • Таким образом, нормаль к плоскости N = (-2, 4, 0).
3. Записать уравнение плоскости.
   • Теперь, зная нормаль N(-2, 4, 0),подставим в уравнение плоскости:
   • -2(x - x0) + 4(y - y0) + 0(z - z0) = 0, где (x0, y0, z0) - координаты одной из точек, например, A(-2, 2, 8).
   • Подставляем A:
   • -2(x + 2) + 4(y - 2) = 0
   • -2x - 4 + 4y - 8 = 0
   • -2x + 4y - 12 = 0
   • Упрощаем:
   • x - 2y + 6 = 0.

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C, имеет вид:

x - 2y + 6 = 0.