Чтобы решить уравнение y' + 2y = 4 с заданным начальным условием y(0) = 5, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Давайте разберем шаги решения.

1. Запишем уравнение в стандартной форме: У нас уже есть уравнение в нужной форме: y' + 2y = 4.
2. Определим интегрирующий множитель: Интегрирующий множитель μ(x) можно найти по формуле μ(x) = e^(∫P(x)dx), где P(x) - коэффициент при y. В нашем случае P(x) = 2.
3. Вычислим интегрирующий множитель:
   • ∫P(x)dx = ∫2dx = 2x.
   • Таким образом, μ(x) = e^(2x).
4. Умножим уравнение на интегрирующий множитель:
   • e^(2x)y' + 2e^(2x)y = 4e^(2x).
5. Соберем левую часть уравнения: Левую часть можно представить как производную от произведения:
   • (e^(2x)y)' = 4e^(2x).
6. Интегрируем обе стороны:
   • ∫(e^(2x)y)'dx = ∫4e^(2x)dx.
   • e^(2x)y = 2e^(2x) + C, где C - произвольная константа.
7. Решим для y:
   • y = 2 + Ce^(-2x).
8. Используем начальное условие: Подставим y(0) = 5:
   • 5 = 2 + C * e^(0).
   • 5 = 2 + C.
   • C = 3.
9. Запишем общее решение:
   • y = 2 + 3e^(-2x).

Таким образом, частное решение уравнения y' + 2y = 4 с начальным условием y(0) = 5 будет:

y = 3e^(-2x) + 2.

Из предложенных вариантов ответа правильным является: y = 3e^(-2x) + 2.