Чтобы установить соответствие между правой частью нелинейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и его частным решением, давайте рассмотрим общий вид такого уравнения:

Общий вид уравнения:

y'' + a*y' + b*y = 0

где y'' - вторая производная функции y по x, a и b - постоянные коэффициенты.

Теперь давайте рассмотрим различные формы правой части и соответствующие им частные решения:

• Если правая часть: 0
• Частное решение: y = C1 * e^(r1*x) + C2 * e^(r2*x), где r1 и r2 - корни характеристического уравнения.
• Если правая часть: k (константа)
• Частное решение: y = C1 * e^(r1*x) + C2 * e^(r2*x) + C3, где C3 - произвольная константа.
• Если правая часть: x
• Частное решение: y = Ax + B, где A и B - произвольные константы.
• Если правая часть: sin(kx)
• Частное решение: y = A * sin(kx) + B * cos(kx), где A и B - произвольные константы.
• Если правая часть: e^(kx)
• Частное решение: y = C * e^(kx), где C - произвольная константа.

Таким образом, для каждого типа правой части можно найти соответствующее частное решение. Важно помнить, что при решении таких уравнений необходимо учитывать также начальные условия, если они заданы, для нахождения конкретных значений произвольных констант.