Верно ли, что если числовой ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю?

• Нет
• Да

Другие предметы Университет Сходимость рядов числовой ряд сходится общий член ряда предел математический анализ университетская математика свойства рядов теорема о сходстве пределы и ряды Новый

Да, верно.

Если числовой ряд сходится, то это действительно подразумевает, что общий член ряда стремится к нулю. Давайте разберем это более подробно.

Рассмотрим числовой ряд, который имеет вид:

a1 + a2 + a3 + ... + an + ...

Говорим, что данный ряд сходится, если существует конечное число S, такое что:

S = lim (n -> ∞) (a1 + a2 + a3 + ... + an)

Теперь, если ряд сходится, необходимо, чтобы его общий член an стремился к нулю при n, стремящемся к бесконечности. Это можно объяснить следующим образом:

• Если an не стремится к нулю, это значит, что существует некоторый положительный ε (эпсилон), для которого an остается больше ε для бесконечно многих n.
• В этом случае сумма первых n членов ряда будет расти неограниченно, что приводит к расходимости ряда.
• Таким образом, для сходимости ряда необходимо, чтобы an стремился к нулю.

Однако стоит отметить, что условие, что общий член ряда стремится к нулю, является необходимым, но не достаточным для сходимости ряда. То есть, если an стремится к нулю, это не гарантирует, что ряд будет сходиться. Для этого существуют другие тесты сходимости.

В заключение, можно сказать, что если числовой ряд сходится, то общий член ряда действительно должен стремиться к нулю.