Верно ли, что знакочередующийся числовой ряд всегда сходится?

• Да
• нет

Другие предметы Университет Сходимость рядов знакочередующийся ряд сходимость числового ряда математический анализ критерии сходимости теорема о знаках ряды в математике свойства рядов университетская математика Новый

Знакочередующийся числовой ряд — это ряд, члены которого чередуются по знаку. Например, ряд вида:

• a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ...

Чтобы ответить на вопрос о сходимости знакочередующегося ряда, нужно рассмотреть несколько важных аспектов.

1. Условия сходимости:

Согласно теореме о сходимости знакочередующихся рядов (теорема Абеля), для того чтобы знакочередующийся ряд сходился, необходимо, чтобы:

• Члены ряда убывали по модулю, т.е. |a(n)| → 0 при n → ∞.
• Члены ряда удовлетворяли условию: |a(n+1)| ≤ |a(n)| для достаточно больших n.

2. Примеры:

Рассмотрим ряд:

• 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...

Этот ряд сходится, так как его члены убывают по модулю и стремятся к нулю. Однако, если взять ряд:

• 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ...

Этот ряд не сходится, так как его сумма колеблется между 0 и 1.

Вывод:

Таким образом, не все знакочередующиеся ряды сходятся. Чтобы ряд сходился, необходимо выполнение определенных условий. Поэтому утверждение, что знакочередующийся числовой ряд всегда сходится, является неверным.