Вычислить разность между приращением функции и ее дифференциалом в точке,

Другие предметы Университет Дифференциальное исчисление разность приращения функции дифференциал функции математический анализ вычисление разности точка функции приращение функции анализ функции университетский курс математики Новый

Чтобы вычислить разность между приращением функции и ее дифференциалом в заданной точке, давайте рассмотрим несколько шагов, которые помогут нам понять этот процесс.

Шаг 1: Определение приращения функции

Приращение функции f(x) в точке x0 при изменении аргумента на малую величину h (где h - это приращение) определяется как:

Δf = f(x0 + h) - f(x0)

Шаг 2: Определение дифференциала функции

Дифференциал функции f(x) в точке x0 также рассчитывается с использованием производной функции:

df = f'(x0) * h

где f'(x0) - производная функции в точке x0.

Шаг 3: Вычисление разности

Теперь, чтобы найти разность между приращением функции и ее дифференциалом, нам нужно вычесть дифференциал из приращения:

R = Δf - df

Где R - это искомая разность.

Шаг 4: Подстановка и упрощение

Подставим выражения для Δf и df:

R = (f(x0 + h) - f(x0)) - (f'(x0) * h)

Теперь, если h стремится к нулю, то разность R будет показывать, насколько приращение функции отличается от её линейного приближения (дифференциала) в данной точке.

Шаг 5: Предел при h стремящемся к нулю

Наконец, мы можем рассмотреть предел этой разности:

lim (h -> 0) R = lim (h -> 0) (f(x0 + h) - f(x0) - f'(x0) * h)

Этот предел показывает, как быстро растет разность между приращением функции и её дифференциалом, когда h становится очень маленьким.

Таким образом, разность между приращением функции и её дифференциалом в точке x0 может быть проанализирована через предел, который показывает, насколько хорошо линейное приближение функции описывает её поведение в окрестности этой точки.