Похожие вопросы
2025-09-04 17:26:46
Вычислите определенный интеграл ∫ (1/2 ⋅ t + 4t²)dt, t = -1..+1
- 2 2/3
- 0
- 4 1/2
Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика университет вычисление интегралов интегралы математический анализ учебные задания студенты математика для студентов интегралы для вузов
2025-09-04 17:27:20
Для вычисления определенного интеграла ∫ (1/2 ⋅ t + 4t²) dt на интервале от -1 до 1, следуем следующим шагам:
- Найдите неопределенный интеграл: Начнем с нахождения неопределенного интеграла функции f(t) = (1/2) ⋅ t + 4t².
- Интегрируем каждую часть по отдельности:
- Интеграл от (1/2) ⋅ t равен (1/2) * (t²/2) = (1/4) t².
- Интеграл от 4t² равен 4 * (t³/3) = (4/3) t³.
- Сложим результаты интегрирования:
- Теперь вычислим определенный интеграл: Для этого подставим пределы интегрирования от -1 до 1 в полученный результат.
- Подставляем верхний предел (t = 1):
- Теперь подставим нижний предел (t = -1):
- Вычислим определенный интеграл: Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:
Итак, неопределенный интеграл будет равен:
∫ (1/2 ⋅ t + 4t²) dt = (1/4) t² + (4/3) t³ + C, где C - константа интегрирования.
F(1) = (1/4) * (1)² + (4/3) * (1)³ = (1/4) + (4/3) = (1/4) + (16/12) = (1/4) + (4/3) = (1/4) + (16/12) = (3/12) + (16/12) = 19/12.
F(-1) = (1/4) * (-1)² + (4/3) * (-1)³ = (1/4) - (4/3) = (1/4) - (16/12) = (3/12) - (16/12) = -13/12.
∫ (1/2 ⋅ t + 4t²) dt от -1 до 1 = F(1) - F(-1) = (19/12) - (-13/12) = (19/12) + (13/12) = (32/12) = 8/3.
Ответ: Значение определенного интеграла ∫ (1/2 ⋅ t + 4t²) dt от -1 до 1 равно 8/3.