Вычислите определенный интеграл ∫ 2dt / cos²t, при x = 0..π/4

1. 2
2. 1
3. 1/2

Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика университет интегралы cos2t вычисление интегралов математический анализ Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫ (2 / cos²(t)) dt на промежутке от 0 до π/4, начнем с упрощения подынтегральной функции.

Мы знаем, что 1 / cos²(t) = sec²(t). Таким образом, мы можем переписать интеграл:

∫ (2 / cos²(t)) dt = ∫ 2 * sec²(t) dt.

Теперь вспомним, что интеграл от sec²(t) равен tan(t). Следовательно:

∫ sec²(t) dt = tan(t) + C, где C - константа интегрирования.

Тогда наш интеграл можно записать следующим образом:

∫ 2 * sec²(t) dt = 2 * tan(t) + C.

Теперь мы можем найти определенный интеграл, вычисляя его на заданном промежутке от 0 до π/4:

∫ (2 / cos²(t)) dt от 0 до π/4 = [2 * tan(t)] от 0 до π/4.

Теперь подставим границы интегрирования:

1. Сначала подставим верхнюю границу, t = π/4:
2. tan(π/4) = 1, следовательно, 2 * tan(π/4) = 2 * 1 = 2.
3. Теперь подставим нижнюю границу, t = 0:
4. tan(0) = 0, следовательно, 2 * tan(0) = 2 * 0 = 0.

Теперь вычтем значение нижней границы из значения верхней границы:

2 - 0 = 2.

Таким образом, значение определенного интеграла ∫ (2 / cos²(t)) dt от 0 до π/4 равно 2.

Ответ: 2.