Вычислите определенный интеграл ∫ 2dt / cos²t, t = 0..π/4

• 1) 2 1/2
• 2) 2
• 3) 4
• 4) 1

Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика университет интегралы cos2t вычисление интегралов математика для студентов математический анализ Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫ (2 / cos²(t)) dt на интервале от 0 до π/4, мы можем воспользоваться тем, что 1 / cos²(t) является производной функции tan(t).

Шаги решения:

1. Запишем интеграл в более удобной форме:
• ∫ (2 / cos²(t)) dt = 2 * ∫ sec²(t) dt
2. Теперь вспомним, что ∫ sec²(t) dt = tan(t) + C, где C - произвольная константа интегрирования.
3. Тогда наш интеграл можно записать как:
• 2 * (tan(t) + C)
4. Теперь вычислим определенный интеграл:
• 2 * [tan(t)] от 0 до π/4
5. Подставим пределы интегрирования:
• 2 * (tan(π/4) - tan(0))
6. Значения тангенса:
• tan(π/4) = 1
• tan(0) = 0
7. Подставим эти значения:
• 2 * (1 - 0) = 2

Таким образом, значение определенного интеграла ∫ (2 / cos²(t)) dt на интервале от 0 до π/4 равно 2.