Вычислите определенный интеграл ∫ 2dx / √(1 – x²), при x = 0..0,5

1. π/3
2. π/2
3. 0,5

Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика университет вычисление интеграла интеграл от 2 интеграл √(1 - x²) математика для студентов Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (2dx / √(1 – x²)) на интервале от 0 до 0.5, давайте следовать шагам, которые помогут нам понять процесс.

Шаг 1: Определение интеграла

Мы имеем интеграл:

∫ (2dx / √(1 – x²)) от 0 до 0.5.

Шаг 2: Замена переменной

В данном случае, мы можем использовать тригонометрическую замену. Поскольку подкоренное выражение 1 - x² напоминает формулу для синуса, давайте сделаем замену:

• Пусть x = sin(θ).
• Тогда dx = cos(θ)dθ.

Также, когда x = 0, θ = 0, а когда x = 0.5, θ = π/6 (поскольку sin(π/6) = 0.5).

Шаг 3: Преобразование интеграла

Теперь подставим x и dx в наш интеграл:

∫ (2 * cos(θ) dθ / √(1 - sin²(θ)))

Поскольку √(1 - sin²(θ)) = cos(θ), наш интеграл становится:

∫ (2 * cos(θ) dθ / cos(θ)) = ∫ 2 dθ.

Шаг 4: Вычисление нового интеграла

Теперь мы вычисляем интеграл:

∫ 2 dθ = 2θ + C.

Шаг 5: Подстановка пределов интегрирования

Теперь нам нужно подставить пределы интегрирования:

• Когда θ = 0, 2 * 0 = 0.
• Когда θ = π/6, 2 * (π/6) = π/3.

Шаг 6: Вычисление результата

Теперь вычтем нижний предел из верхнего:

π/3 - 0 = π/3.

Ответ: Значение определенного интеграла ∫ (2dx / √(1 – x²)) от 0 до 0.5 равно π/3.