Вычислите определенный интеграл ∫ 2dx / ∜x, при x = 1..16

1. 56/3
2. 24
3. 28/3
4. 8/3

Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика университет интегралы вычисление интеграла математический анализ учебные задачи интегрирование математические методы высшая математика университет Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ (2 / ∜x) dx на интервале от x = 1 до x = 16, мы начнем с нахождения неопределенного интеграла.

Первый шаг - перепишем выражение для интегрирования:

• ∜x можно записать как x^(1/4).

Таким образом, мы можем переписать интеграл:

∫ (2 / ∜x) dx = ∫ (2 / x^(1/4)) dx = ∫ (2 * x^(-1/4)) dx.

Теперь мы можем найти неопределенный интеграл:

• Используем правило интегрирования для степенной функции: ∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C, где n ≠ -1.
• В нашем случае n = -1/4, поэтому n + 1 = 3/4.

Теперь вычислим интеграл:

∫ (2 x^(-1/4)) dx = 2 (x^(3/4) / (3/4)) = (8/3) * x^(3/4) + C.

Теперь у нас есть неопределенный интеграл. Переходим к вычислению определенного интеграла:

∫ (2 / ∜x) dx от 1 до 16 = [(8/3) * x^(3/4)] от 1 до 16.

Теперь подставим пределы интегрирования:

• Сначала подставим верхний предел (x = 16):
(8/3) * (16^(3/4)).

Вычислим 16^(3/4):

• 16^(1/4) = 2, так как 2^4 = 16;
• Поэтому 16^(3/4) = (16^(1/4))^3 = 2^3 = 8.
Таким образом, (8/3) * 8 = 64/3.
• Теперь подставим нижний предел (x = 1):
(8/3) * (1^(3/4)) = (8/3) * 1 = 8/3.

Теперь вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела:

(64/3) - (8/3) = (64 - 8) / 3 = 56/3.

Таким образом, значение определенного интеграла ∫ (2 / ∜x) dx от 1 до 16 равно 56/3.