Вычислите определенный интеграл ∫ 2π√x dx, при x = 1..9

1. 104/3 ⋅ π
2. 112/3 ⋅ π
3. 52/3 ⋅ π
4. 104/3

Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика университет интегралы вычисление интегралов математический анализ интеграция π задачи по математике учебные материалы Новый

Для вычисления определенного интеграла ∫ 2π√x dx на промежутке от x = 1 до x = 9, следуем следующим шагам:

1. Найдём первообразную функции 2π√x.

   Для этого воспользуемся правилом интегрирования степенной функции. Напомним, что:

   ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

   В нашем случае n = 1/2, тогда:

   ∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = (x^(3/2))/(3/2) = (2/3)x^(3/2).

   Теперь умножим на 2π:

   ∫ 2π√x dx = 2π * (2/3)x^(3/2) = (4π/3)x^(3/2).

2. Теперь подставим пределы интегрирования.

   Сначала подставим верхний предел (x = 9):

   (4π/3) * (9^(3/2)) = (4π/3) * (27) = 36π.

3. Теперь подставим нижний предел (x = 1):

   (4π/3) * (1^(3/2)) = (4π/3) * (1) = (4π/3).

4. Теперь вычтем значения:

   Итак, результат интегрирования будет:

   ∫ 2π√x dx от 1 до 9 = 36π - (4π/3).

   Чтобы вычесть дроби, приведем 36π к общему знаменателю:

   36π = (108π/3).

   Теперь можем вычесть:

   (108π/3) - (4π/3) = (104π/3).

Таким образом, ответ на интеграл ∫ 2π√x dx от 1 до 9 = (104/3)π.