Вычислите определенный интеграл ∫ 2π√(x)dx, x=1..9

Другие предметы Университет Определенные интегралы математический анализ определенный интеграл вычисление интеграла интегралы в математике университетские задачи интеграл от функции применение интегралов интеграл √(x) задачи по интегралам Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ 2π√(x)dx от x=1 до x=9, давайте рассмотрим шаги, которые нам нужно выполнить.

1. Запишем интеграл:

   Мы хотим найти следующий интеграл:

   ∫ 2π√(x) dx от x=1 до x=9.

2. Вынесем постоянный множитель:

   Поскольку 2π является постоянным множителем, мы можем вынести его за знак интеграла:

   2π ∫ √(x) dx от x=1 до x=9.

3. Найдем неопределенный интеграл:

   Теперь нам нужно найти неопределенный интеграл ∫ √(x) dx. Мы можем использовать правило интегрирования:

   ∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

   В нашем случае n = 1/2. Подставим это значение:

   ∫ √(x) dx = ∫ x^(1/2) dx = (x^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) + C = (x^(3/2))/(3/2) + C = (2/3)x^(3/2) + C.

4. Подставим обратно в интеграл:

   Теперь мы можем подставить найденный неопределенный интеграл обратно в наш интеграл:

   2π ∫ √(x) dx = 2π * (2/3)x^(3/2) + C = (4π/3)x^(3/2) + C.

5. Вычислим определенный интеграл:

   Теперь нам нужно вычислить определенный интеграл от x=1 до x=9:

   (4π/3) * [x^(3/2)] от 1 до 9.

   Это значит, что мы подставим 9 и 1 в выражение (4π/3)x^(3/2):

   • Подставим x = 9:

   (4π/3) * (9^(3/2)) = (4π/3) * (27) = 36π.

   • Подставим x = 1:

   (4π/3) * (1^(3/2)) = (4π/3) * (1) = (4π/3).

6. Вычтем результаты:

   Теперь вычтем значение при x=1 из значения при x=9:

   36π - (4π/3).

   Чтобы вычесть, приведем к общему знаменателю:

   36π = (108π/3).

   Теперь можем вычесть:

   (108π/3) - (4π/3) = (104π/3).

7. Ответ:

   Таким образом, значение определенного интеграла ∫ 2π√(x)dx от x=1 до x=9 равно:

   (104π/3).