Вычислите определенный интеграл ∫ dx / cos²2x, при x = π/8..π/6

1. 1/2 ⋅ (√3 − 1)
2. 1/2
3. 0

Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика университет интегралы cos²2x вычисление интеграла π/8 π/6 математический анализ студенты учебный курс методы интегрирования Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ dx / cos²(2x) на интервале от x = π/8 до x = π/6, начнем с упрощения интеграла.

Интеграл ∫ dx / cos²(2x) можно переписать в виде:

∫ sec²(2x) dx,

где sec(2x) - это секанс, который равен 1/cos(2x).

Теперь мы можем использовать известное правило интегрирования:

∫ sec²(u) du = tan(u) + C.

В нашем случае, u = 2x, и тогда du = 2 dx, что означает, что dx = du / 2.

Таким образом, наш интеграл можно переписать следующим образом:

1. Подставим в интеграл:

∫ sec²(2x) dx = (1/2) ∫ sec²(u) du

2. Теперь интегрируем:

(1/2) * (tan(u) + C) = (1/2) * (tan(2x) + C)

Теперь подставим пределы интегрирования. Нам нужно вычислить:

(1/2) * (tan(2x)) от x = π/8 до x = π/6.

Сначала найдем значения tan(2x) для обоих пределов:

• Для x = π/8:

2x = 2 * (π/8) = π/4, tan(π/4) = 1.

• Для x = π/6:

2x = 2 * (π/6) = π/3, tan(π/3) = √3.

Теперь подставим эти значения в наш интеграл:

(1/2) * (tan(π/3) - tan(π/4)) = (1/2) * (√3 - 1).

Таким образом, окончательный ответ для определенного интеграла:

(1/2) * (√3 - 1).

Это совпадает с указанным вами значением 1/2 * (√3 - 1). Поэтому, интеграл вычислен верно.