Вычислите определенный интеграл ∫ sin2xdx, при x = π/6..π/4

• 0,25
• 0
• 1

Другие предметы Университет Определенные интегралы определенный интеграл высшая математика университет интегрирование sin2x вычисление интеграла π/6 π/4 математический анализ задачи по интегралам Новый

Чтобы вычислить определенный интеграл ∫ sin²(x) dx на промежутке от π/6 до π/4, мы будем следовать нескольким шагам. Начнем с нахождения неопределенного интеграла функции sin²(x).

Шаг 1: Нахождение неопределенного интеграла sin²(x)

Существует формула, которая помогает упростить интегрирование sin²(x). Эта формула основана на тригонометрической идентичности:

• sin²(x) = (1 - cos(2x)) / 2

Теперь мы можем переписать наш интеграл:

∫ sin²(x) dx = ∫ (1 - cos(2x)) / 2 dx

Теперь можем выделить 1/2 и интегрировать:

∫ sin²(x) dx = 1/2 ∫ (1 - cos(2x)) dx = 1/2 (∫ 1 dx - ∫ cos(2x) dx)

Интеграл от 1 равен x, а интеграл от cos(2x) равен (1/2)sin(2x) (помните, что мы делим на 2 из-за производной 2x). Таким образом, получаем:

∫ sin²(x) dx = 1/2 (x - (1/2)sin(2x)) + C = 1/2 x - 1/4 sin(2x) + C

Шаг 2: Применение пределов интегрирования

Теперь, когда мы нашли неопределенный интеграл, мы можем применить пределы интегрирования от π/6 до π/4:

∫(π/6)^(π/4) sin²(x) dx = [1/2 x - 1/4 sin(2x)] |(π/6)^(π/4)

Теперь подставим границы:

1. Сначала подставим верхний предел (π/4):

1/2 (π/4) - 1/4 sin(2(π/4)) = 1/2 (π/4) - 1/4 sin(π/2)

sin(π/2) = 1, следовательно:

1/2 (π/4) - 1/4 = π/8 - 1/4

2. Теперь подставим нижний предел (π/6):

1/2 (π/6) - 1/4 sin(2(π/6)) = 1/2 (π/6) - 1/4 sin(π/3)

sin(π/3) = √3/2, следовательно:

1/2 (π/6) - 1/4 (√3/2) = π/12 - √3/8

Шаг 3: Вычисление значения интеграла

Теперь мы можем найти значение определенного интеграла:

∫(π/6)^(π/4) sin²(x) dx = (π/8 - 1/4) - (π/12 - √3/8)

Упрощаем это выражение:

=(π/8 - 1/4) + (√3/8 - π/12)

Теперь нужно привести к общему знаменателю. Общим знаменателем для 8 и 12 будет 24:

• π/8 = 3π/24
• 1/4 = 6/24
• π/12 = 2π/24
• √3/8 = 3√3/24

Теперь подставим все в одно выражение:

(3π/24 - 6/24) + (3√3/24 - 2π/24) = (3π - 6 + 3√3 - 2π) / 24 = (π - 6 + 3√3) / 24

Шаг 4: Оценка результата

Теперь, чтобы получить численное значение, подставим значения π и √3:

π ≈ 3.14159 и √3 ≈ 1.73205

Подставляем:

(3.14159 - 6 + 3 * 1.73205) / 24 ≈ (3.14159 - 6 + 5.19615) / 24 ≈ (2.33774) / 24 ≈ 0.09749

Таким образом, значение определенного интеграла ∫ sin²(x) dx на промежутке от π/6 до π/4 примерно равно 0.09749.