Как можно найти косинус наименьшего угла треугольника ABC, если известны координаты его вершин: A(-2;2), B(3;2) и C(3;-1)?

Геометрия 10 класс Координатная геометрия косинус угла треугольника координаты вершин треугольника треугольник ABC геометрия нахождение углов треугольника Новый

Чтобы найти косинус наименьшего угла треугольника ABC, нам сначала нужно определить длины всех сторон треугольника, а затем использовать теорему косинусов для вычисления косинуса углов.

Шаги решения:

1. Находим длины сторон треугольника:
   • Сторона AB:

   Используем формулу для расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

   AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

   Подставляем координаты A(-2; 2) и B(3; 2):

   AB = √((3 - (-2))² + (2 - 2)²) = √((3 + 2)² + 0) = √(5²) = 5

   • Сторона BC:

   Координаты B(3; 2) и C(3; -1):

   BC = √((3 - 3)² + (-1 - 2)²) = √(0 + (-3)²) = √(9) = 3

   • Сторона CA:

   Координаты C(3; -1) и A(-2; 2):

   CA = √((-2 - 3)² + (2 - (-1))²) = √((-5)² + (3)²) = √(25 + 9) = √(34)

2. Теперь находим косинусы углов с помощью теоремы косинусов:
   • Косинус угла A:

   cos A = (b² + c² - a²) / (2bc), где a = BC, b = CA, c = AB.

   cos A = (3² + (√34)² - 5²) / (2 * 3 * √34) = (9 + 34 - 25) / (6√34) = 18 / (6√34) = 3 / √34.

   • Косинус угла B:

   cos B = (a² + c² - b²) / (2ac), где a = CA, b = AB, c = BC.

   cos B = ((√34)² + 5² - 3²) / (2 * √34 * 5) = (34 + 25 - 9) / (10√34) = 50 / (10√34) = 5 / √34.

   • Косинус угла C:

   cos C = (a² + b² - c²) / (2ab), где a = AB, b = BC, c = CA.

   cos C = (5² + 3² - (√34)²) / (2 * 5 * 3) = (25 + 9 - 34) / 30 = 0 / 30 = 0.

3. Сравниваем косинусы углов:

   Мы нашли:

   • cos A = 3 / √34
   • cos B = 5 / √34
   • cos C = 0

   Наименьший угол соответствует наибольшему косинусу, так как косинус угла уменьшается с увеличением угла. Таким образом, наименьший угол - это угол C, и его косинус равен 0.

Таким образом, мы нашли косинус наименьшего угла треугольника ABC, который равен 0.