Как можно найти площадь прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 25 см, а проекция на гипотенузу большего катета составляет 16 см?

Геометрия 10 класс Площадь треугольника площадь прямоугольного треугольника гипотенуза 25 см проекция катета 16 см формула площади треугольника геометрия 10 класс Новый

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нам нужно знать длины его катетов. В данном случае у нас есть гипотенуза и проекция большего катета на гипотенузу. Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.

1. Обозначим известные данные:
   • Гипотенуза (c) = 25 см
   • Проекция большего катета (a) на гипотенузу = 16 см
2. Используем теорему Пифагора:

   Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике выполняется следующее равенство:

   a^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты, c - гипотенуза.

3. Находим меньший катет:

   Проекция большего катета на гипотенузу равна 16 см. Обозначим больший катет как a, а меньший катет как b. Проекция катета a на гипотенузу можно выразить через косинус угла между катетом и гипотенузой:

   Проекция a = a * cos(угол), где угол - это угол между катетом a и гипотенузой.

   Зная, что проекция равна 16 см, можем записать:

   16 = a * cos(угол).

   Также, по теореме Пифагора, мы знаем, что:

   a^2 + b^2 = 25^2 = 625.

   Теперь мы можем выразить b через a:

   b^2 = 625 - a^2.

   Теперь нам нужно найти a и b.

4. Используем проекцию для нахождения катетов:

   Для нахождения катетов можно использовать соотношение:

   Проекция a = a * cos(угол) = 16.

   Так как мы не знаем угол, мы можем воспользоваться свойством прямоугольного треугольника. Мы знаем, что:

   cos(угол) = a / c, где c - гипотенуза.

   Таким образом, можем записать:

   16 = a * (a / 25).

   Отсюда получаем:

   16 * 25 = a^2.

   400 = a^2, а значит a = 20 см (больший катет).

5. Находим меньший катет:

   Теперь подставим значение a в формулу для b:

   b^2 = 625 - 20^2 = 625 - 400 = 225.

   Следовательно, b = 15 см (меньший катет).

6. Находим площадь треугольника:

   Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

   Площадь = (1/2) * a * b.

   Подставим значения катетов:

   Площадь = (1/2) * 20 * 15 = 150 см².

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника составляет 150 см².