Как можно определить длины сторон (a и b) и площадь (s) параллелограмма, если известен его периметр, равный 32, и острый угол, равный 30 градусам?

Геометрия 10 класс Параллелограмм и его свойства длина сторон параллелограмма площадь параллелограмма периметр параллелограмма острый угол параллелограмма геометрия 10 класс Новый

Для того чтобы определить длины сторон (a и b) и площадь (s) параллелограмма, зная его периметр и острый угол, можно воспользоваться следующими шагами:

Шаг 1: Определение сторон a и b через периметр

Периметр параллелограмма определяется по формуле:

P = 2(a + b)

В нашем случае периметр P равен 32. Подставим это значение в формулу:

32 = 2(a + b)

Теперь упростим уравнение:

a + b = 16

Это уравнение показывает связь между длинами сторон a и b.

Шаг 2: Использование угла для нахождения сторон

Для нахождения сторон параллелограмма воспользуемся свойствами треугольника, который образуется при проведении высоты к основанию. Острый угол равен 30 градусам. Мы можем использовать тригонометрические функции:

• Синус угла: sin(30°) = 0.5
• Косинус угла: cos(30°) = √3/2 ≈ 0.866

Пусть a - это одна из сторон параллелограмма, а h - высота, опущенная на сторону a. Высота h может быть выражена через сторону b и угол:

h = b * sin(30°) = b * 0.5

Шаг 3: Выражение площади через стороны и угол

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле:

s = a * h = a * (b * sin(30°)) = a * (b * 0.5)

Таким образом, площадь s можно выразить как:

s = 0.5 * a * b

Шаг 4: Подстановка и решение системы уравнений

Теперь у нас есть система уравнений:

• a + b = 16
• s = 0.5 * a * b

Мы можем выразить b через a из первого уравнения:

b = 16 - a

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

s = 0.5 * a * (16 - a)

Теперь у нас есть выражение для площади через одну из сторон:

s = 0.5 * (16a - a²)

Шаг 5: Оптимизация площади

Чтобы максимизировать площадь, можно найти производную и приравнять её к нулю, но в данном случае мы можем просто рассмотреть, что для максимизации площади стороны должны быть равны. Поэтому, если a = b, то:

2a = 16, следовательно, a = 8 и b = 8.

Шаг 6: Проверка и итоговые значения

Теперь подставим a и b в формулу для площади:

s = 0.5 * 8 * 8 = 32.

Таким образом, мы получили:

• Длина стороны a = 8
• Длина стороны b = 8
• Площадь s = 32

Итак, длины сторон параллелограмма равны 8 и 8, а его площадь равна 32.