Вопрос: Параллельно диагонали АС параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая отрезки AB и BC в точках М и N, а прямые AD и CD в точках Р и К соответственно. Как можно доказать, что PM = NK? Пожалуйста, решите эту задачу. Я дам 25 баллов.

Геометрия 10 класс Параллелограмм и его свойства параллелограмм ABCD диагонали параллелограмма доказательство PM = NK геометрические свойства параллелограмма пересечение прямых отрезки AB и BC точки M и N точки P и K геометрия 10 класс задачи по геометрии решение геометрических задач свойства параллелограмма доказательства в геометрии параллельные прямые теоремы геометрии Новый

Объяснение:

Дано: параллелограмм ABCD, и прямая, проведенная параллельно диагонали AC, пересекает отрезки AB и BC в точках M и N, а также прямые AD и CD в точках P и K соответственно.

Доказать: PM = NK.

Доказательство:

1. Начнем с рассмотрения четырехугольника AMKS. Поскольку ABCD - это параллелограмм, то стороны AB и CD параллельны и равны (AB || CD). Также по условию у нас есть, что отрезок MK параллелен отрезку AC. По определению, если две пары противоположных сторон равны и одна пара сторон параллельна, то данный четырехугольник является параллелограммом. Таким образом, AMKS является параллелограммом.
2. Из свойств параллелограмма следует, что противолежащие стороны равны. Поэтому, мы можем записать:
• AM = SK.
3. Теперь рассмотрим четырехугольник PNCA. Здесь также можно заметить, что AP и CN - это стороны, которые являются параллельными (AP || CN) из-за свойств параллелограмма ABCD. Учитывая, что прямая PN также параллельна диагонали AC (как указано в условии), мы можем заключить, что PNCA также является параллелограммом.
4. Следовательно, по свойствам параллелограмма, мы имеем:
• AP = CN.
5. Теперь рассмотрим два треугольника: ΔPMA и ΔNKC. У нас уже есть равенства:
• AM = SK (из п.1);
• AP = CN (из п.2).
6. Теперь обратим внимание на углы. Угол ∠1 (угол PMA) равен углу ∠2 (угол NKC), так как они являются соответственными углами при пересечении параллельных прямых BC и AD с секущей DK. Также угол ∠3 (угол PMA) равен углу ∠2 (угол NKC), так как они также являются соответственными углами при пересечении параллельных прямых AB и DK с секущей DP.
7. Таким образом, мы можем заключить, что:
• ∠1 = ∠3 (по утверждениям о соответственных углах).
8. Теперь у нас есть два треугольника с двумя равными сторонами и углом между ними:
• ΔPMA и ΔNKC равны (по двум сторонам и углу между ними).
9. Следовательно, из равенства треугольников следует, что:
• PM = NK.

Таким образом, мы доказали, что PM = NK.