Какова доля площади треугольника ABC, занимаемая треугольником PRQ, если стороны треугольника ABC разделены на три равные части, и точки D, E, F находятся на сторонах AC, BA, CB соответственно, отсекая по 1/3 длины каждой стороны (AC = 3AD, BA = 3BE, CB = 3CF), а вершины треугольника ABC соединены с этими точками отрезками AF, BD, CE, которые пересекаются и формируют треугольник PRQ?

Геометрия 10 класс Площадь треугольника площадь треугольника треугольник ABC треугольник PRQ деление сторон равные части точки D E F отрезки AF BD CE пересечение отрезков геометрия задачи по геометрии Новый

Чтобы найти долю площади треугольника ABC, занимаемую треугольником PRQ, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определение точек D, E и F

• Сторона AC делится на три равные части, поэтому точка D находится на расстоянии 1/3 от точки A к точке C.
• Сторона BA также делится на три равные части, и точка E находится на расстоянии 1/3 от точки B к точке A.
• Сторона CB делится на три равные части, и точка F находится на расстоянии 1/3 от точки C к точке B.

Шаг 2: Построение отрезков AF, BD и CE

• Соединим вершину A с точкой F, вершину B с точкой D и вершину C с точкой E. Эти отрезки пересекаются и формируют новый треугольник PRQ.

Шаг 3: Вычисление площадей треугольников

• Площадь треугольника ABC можно выразить через его основание и высоту. Пусть основание AC = b и высота из точки B на сторону AC = h. Тогда площадь S(ABC) = (1/2) * b * h.
• Теперь нам нужно найти площадь треугольника PRQ. Применим теорему о подобных треугольниках: треугольники PRQ и ABC подобны, так как у них одинаковые углы (по свойству пересекающихся секущих).
• Стороны треугольника PRQ будут равны 1/3 сторон треугольника ABC, так как каждая сторона ABC делится на 3 равные части.
• Следовательно, отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сторон. Таким образом, S(PRQ) = (1/3)^2 * S(ABC) = (1/9) * S(ABC).

Шаг 4: Вычисление доли площади

• Теперь мы можем найти долю площади треугольника PRQ от площади треугольника ABC: доля = S(PRQ) / S(ABC) = (1/9) * S(ABC) / S(ABC) = 1/9.

Ответ: Доля площади треугольника ABC, занимаемая треугольником PRQ, составляет 1/9.