Для начала давайте вспомним, что прямая трапеция — это трапеция, у которой основания параллельны, а боковые стороны равны. Важно отметить, что у прямоугольной трапеции есть особое свойство: в неё можно вписать окружность, если сумма длин её оснований равна сумме длин боковых сторон.

Обозначим основания трапеции как a и b, а боковые стороны как c и d. Условие, что в трапецию можно вписать окружность, можно записать так:

Теперь, чтобы найти площадь такой трапеции, используем формулу:

где h — высота трапеции.

В нашем случае дано, что произведение оснований равно 37:

Теперь давайте выразим одно основание через другое. Пусть:

Теперь подставим a и b в формулу для площади:

Чтобы найти максимальную площадь, нам нужно минимизировать выражение x + 37/x. Это можно сделать, используя производные, но для упрощения мы можем воспользоваться неравенством AM-GM:

Таким образом:

Следовательно, минимальное значение x + 37/x равно 2√37, и оно достигается, когда:

Теперь подставим это значение обратно в формулу для площади:

Теперь, чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, нам нужно знать высоту h. Однако, если высота не задана, мы не можем найти численное значение площади. Таким образом, площадь будет равна:

Если известна высота h, то подставьте её значение, и вы получите окончательный ответ.