Сформулируйте определение скалярного произведения векторов и условие перпендикулярности двух ненулевых векторов, используя это скалярное произведение.

Геометрия 10 класс Скалярное произведение векторов скалярное произведение векторы перпендикулярность ненулевые векторы определение геометрия 10 класс условия математические свойства векторная алгебра Новый

Скалярное произведение векторов — это важное понятие в геометрии. Давайте разберем, что оно означает.

Определение скалярного произведения: Скалярным произведением векторов ↑a и ↑b обозначается выражение ↑a · ↑b. Это произведение равно числу, которое вычисляется по следующей формуле:

• Сначала мы берем длины (модули) векторов ↑a и ↑b. Обозначим их как |↑a| и |↑b|.
• Затем нам нужно найти косинус угла α между этими двумя векторами. Этот угол — это угол, образованный между направлениями векторов.
• Теперь мы перемножаем длины векторов и косинус угла: ↑a · ↑b = |↑a| · |↑b| · cosα.

Таким образом, скалярное произведение векторов не только дает нам числовое значение, но и связывает длины векторов и угол между ними.

Условие перпендикулярности векторов: Теперь давайте разберемся, как это связано с перпендикулярностью. Два ненулевых вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусам. В этом случае косинус угла равен нулю (cos 90° = 0).

Следовательно, если мы подставим этот угол в формулу скалярного произведения, получим:

• ↑a · ↑b = |↑a| · |↑b| · cos 90° = |↑a| · |↑b| · 0 = 0.

Таким образом, два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Это очень полезное свойство, которое мы будем использовать в дальнейшем при решении задач.