В прямоугольном треугольнике, если точка касания вписанной окружности с гипотенузой делит её на отрезки длиной 4 см и 3 см, то какова площадь этого треугольника?

Геометрия 10 класс Площадь треугольника прямоугольный треугольник вписанная окружность площадь треугольника отрезки гипотенузы задача по геометрии

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, в котором известны длины отрезков, на которые вписанная окружность делит гипотенузу, нужно следовать нескольким шагам.

Обозначим:

• гипотенуза треугольника - c;
• катеты - a и b;
• точку касания вписанной окружности с гипотенузой - точка D.

По условию задачи, точка D делит гипотенузу на два отрезка: AD = 4 см и DB = 3 см. Таким образом, длина гипотенузы:

c = AD + DB = 4 см + 3 см = 7 см.

Также известно, что длины отрезков, на которые делится гипотенуза, равны:

• s - a = 4 см,
• s - b = 3 см,

где s - полупериметр треугольника. Полупериметр рассчитывается по формуле:

s = (a + b + c) / 2.

Теперь выразим a и b через s:

• a = s - 4,
• b = s - 3.

Подставим a и b в формулу для полупериметра:

s = (s - 4 + s - 3 + 7) / 2.

Упрощаем уравнение:

s = (2s) / 2 = s.

Теперь можем выразить s:

s = 7 / 2 = 3.5 см.

Теперь подставим значение s в уравнения для a и b:

• a = 3.5 - 4 = -0.5 см (что невозможно, значит мы допустили ошибку).
• b = 3.5 - 3 = 0.5 см (что также невозможно).

На самом деле, мы должны учитывать, что a и b - это длины катетов, а не выражения через s. Вместо этого, можем воспользоваться формулой для площади треугольника, используя длины отрезков от точки касания до вершин:

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

Площадь = (a * b) / 2.

Также, зная, что c = 7 см и используя теорему Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2.

С учетом того, что:

AD = 4 см и DB = 3 см,

можем выразить:

• a = 4 см,
• b = 3 см.

Теперь подставим значения в формулу для площади:

Площадь = (4 * 3) / 2 = 12 / 2 = 6 см².

Таким образом, площадь данного прямоугольного треугольника равна 6 см².

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства вписанной окружности в прямоугольном треугольнике и формулы для вычисления его площади.

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C является прямым. Гипотенуза AB делится точкой касания вписанной окружности на два отрезка: AC и BC. В данном случае, AC = 4 см, а BC = 3 см.

Согласно свойствам вписанной окружности, длины отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания, равны половине разности длин катетов. То есть:

• AC = (b - a)/2
• BC = (a - b)/2

Где:

• a - длина одного катета (например, BC),
• b - длина другого катета (например, AC).

Сложим длины отрезков:

AC + BC = 4 см + 3 см = 7 см.

Так как AB - это гипотенуза, то ее длина равна:

AB = AC + BC = 7 см.

Теперь мы можем найти длины катетов:

• AC = (b - a)/2 = 4 см, отсюда b - a = 8 см;
• BC = (a - b)/2 = 3 см, отсюда a - b = 6 см.

Решим систему уравнений:

1. b - a = 8
2. a - b = 6

Из первого уравнения выразим b:

b = a + 8.

Подставим b во второе уравнение:

a - (a + 8) = 6.

-8 = 6, что неверно!

Попробуем другой подход. Найдем площадь треугольника через радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника можно также выразить через радиус вписанной окружности r и полупериметр p:

Площадь = r * p.

Полупериметр p равен:

p = (a + b + c)/2, где c - гипотенуза.

Мы знаем, что:

p = (4 + 3 + 7)/2 = 7 см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности r:

r = (S)/(p), где S - площадь треугольника.

Но для нахождения площади нам нужно знать хотя бы один катет. Мы можем воспользоваться формулой:

S = (a * b)/2.

Так как у нас есть два уравнения, можем выразить a и b через друг друга:

Сложив уравнения, получаем:

a + b = 14 см.

Таким образом, мы можем подставить значения и найти площадь:

Площадь = (4 * 3)/2 = 6 см².

Итак, площадь данного прямоугольного треугольника составляет 6 см².